ID: 00013622
Биссектрисы углов ∠𝐵𝐴𝐷 и ∠𝐵𝐶𝐷 равнобедренной трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑂. Через точку 𝑂 провели прямую, параллельную основаниям 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷.
а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне.
б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если 𝐴𝑂 = 𝐶𝑂 и данная прямая делит сторону 𝐴𝐵 в отношении 𝐴𝑀 : 𝑀𝐵 = 1:2.
Источник: ФИПИ
В равнобедренной трапеции ABCD биссектрисы углов BAD и BCD пересекаются в точке O; через O проведена прямая, параллельная основаниям, пересекающая AB в M и CD в N.
Пункт а. Докажем, что отрезок MN внутри трапеции равен боковой стороне.
Прямая MN\parallel AD, поэтому \angle MOA=\angle OAD (накрест лежащие). Но AO — биссектриса, значит \angle OAD=\angle OAM. Отсюда \angle MOA=\angle MAO, и треугольник AMO равнобедренный: AM=MO.
Аналогично CN=NO. В равнобедренной трапеции MB=CN (симметрия), поэтому MN=MO+ON=AM+CN=AM+MB=AB — отрезок равен боковой стороне. Доказано.
Пункт б. Найдём отношение оснований, если AO=CO и прямая делит AB как AM:MB=1:2.
Пусть \angle OAD=\alpha, тогда угол при основании AD равен 2\alpha (так как AO — биссектриса полного угла A... аккуратно: \angle BAD=2\alpha). Обозначим MO=AM=a; из AM:MB=1:2 имеем MB=2a, тогда CN=MB=2a и ON=CN=2a.
В треугольниках AMO и CNO по теореме косинусов: AO^2=a^2+a^2-2a^2\cos(180^\circ-2\alpha)=2a^2(1+\cos2\alpha) и CO^2=(2a)^2+(2a)^2-2(2a)^2\cos2\alpha=8a^2(1-\cos2\alpha).
Из AO=CO: 2a^2(1+\cos2\alpha)=8a^2(1-\cos2\alpha), то есть 1+\cos2\alpha=4-4\cos2\alpha, откуда 5\cos2\alpha=3, \cos2\alpha=\dfrac{3}{5}.
Длины оснований через проекции: AD=MN+2\,AM\cos2\alpha и BC=MN-2\,MB\cos2\alpha (опуская высоты из M, N). Подставляя MN=AB=AM+MB=3a, \cos2\alpha=\dfrac35, получаем AD=3a+2a\cdot\dfrac35=3a+\dfrac{6a}{5}=\dfrac{21a}{5} и BC=3a-2\cdot2a\cdot\dfrac35=3a-\dfrac{12a}{5}=\dfrac{3a}{5}.
Отношение BC:AD=\dfrac{3a/5}{21a/5}=\dfrac{3}{21}=\dfrac{1}{7}.
1:7