Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042194

Сначала разберёмся с картинкой. Точки $P$ и $Q$ делят диагональ $LN$ на три равные части: $LP:PN=1:2$, $LQ:QN=2:1$. Прямая $LM$ параллельна $KN$ (противоположные стороны параллелограмма).

Пункт а. Докажем, что $LR:RT=1:3$.

Треугольники $LPR$ и $NPK$ подобны: углы при вершине $P$ вертикальные, а $\angle PLR=\angle PNK$ как накрест лежащие при $LM\parallel KN$ и секущей $LN$. Коэффициент подобия $\dfrac{LP}{PN}=\dfrac12$, поэтому $LR=\dfrac12KN$.

Точно так же подобны треугольники $LQT$ и $NQK$ с коэффициентом $\dfrac{LQ}{QN}=2$, откуда $LT=2KN$.

Обе точки $R$ и $T$ лежат на луче $LM$ (по ту же сторону от $L$, что и $M$), поэтому

$$RT=LT-LR=2KN-\dfrac12KN=\dfrac32KN,\qquad LR:RT=\dfrac12:\dfrac32=1:3.$$

Доказано.

Пункт б. Найдём площадь параллелограмма, если площадь пятиугольника $PRMSQ$ равна 15.

Из пункта а: $LR=\dfrac12KN=\dfrac12LM$, то есть $R$ — середина стороны $LM$; $LT=2KN=2LM$, то есть $T$ лежит на продолжении $LM$ за точку $M$ и $MT=LM=KN$.

Прямая $KQ$ выходит из вершины $K$, поэтому вторично она может пересечь только сторону $MN$. Треугольники $SMT$ и $SNK$ подобны ($MT\parallel KN$) с коэффициентом $\dfrac{MT}{KN}=1$, значит, $SM=SN$: $S$ — середина $MN$.

Пусть площадь параллелограмма равна $X$. Диагональ $LN$ делит его пополам: $S_{LMN}=\dfrac X2$. Пятиугольник $PRMSQ$ получается из треугольника $LMN$, если отрезать треугольники $LPR$ (у вершины $L$) и $NQS$ (у вершины $N$).

Площади треугольников с общим углом относятся как произведения сторон, заключающих этот угол:

$$\dfrac{S_{LPR}}{S_{LNM}}=\dfrac{LP}{LN}\cdot\dfrac{LR}{LM}=\dfrac13\cdot\dfrac12=\dfrac16,\qquad \dfrac{S_{NQS}}{S_{NLM}}=\dfrac{NQ}{NL}\cdot\dfrac{NS}{NM}=\dfrac13\cdot\dfrac12=\dfrac16.$$

$$S_{PRMSQ}=\dfrac X2\left(1-\dfrac16-\dfrac16\right)=\dfrac X2\cdot\dfrac23=\dfrac X3.$$

По условию $\dfrac X3=15$, откуда $X=45$.

Проверим себя координатами. Возьмём квадрат $K(0;0)$, $L(0;3)$, $M(3;3)$, $N(3;0)$ площади 9. Тогда $P(1;2)$, $Q(2;1)$, $R(1{,}5;3)$, $S(3;1{,}5)$. Пятиугольник $PRMSQ$ — это треугольник $LMN$ площади $4{,}5$ без треугольников $LPR$ и $NQS$, площадь каждого $\dfrac12\cdot1{,}5\cdot1=0{,}75$: получаем $4{,}5-1{,}5=3=\dfrac93$. Доля $\dfrac13$ подтверждается, и $45:3=15$. Совпало.