Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042189

Сначала картинка. Прямая $BM$ перпендикулярна диагонали $AC$ и упирается в сторону $AD$ в точке $M$, причём $MB=MD$. Точка $O$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника.

Пункт а. Докажем, что $\angle ABM=\angle MBD=\angle DBC$.

Обозначим $\angle DBC=\varphi$. Углы $ADB$ и $DBC$ накрест лежащие при $AD\parallel BC$ и секущей $BD$, поэтому $\angle ADB=\varphi$.

По условию $MB=MD$, значит, треугольник $BMD$ равнобедренный и $\angle MBD=\angle MDB=\varphi$.

Пусть $E$ — точка пересечения $BM$ и $AC$; угол $AEB$ прямой. В прямоугольном треугольнике $ABE$: $\angle ABM=90^\circ-\angle BAC$.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения $O$ делятся пополам, поэтому $OA=OB$ и $\angle BAC=\angle ABD$. Кроме того, $\angle ABD=90^\circ-\angle DBC=90^\circ-\varphi$. Значит,

$$\angle ABM=90^\circ-(90^\circ-\varphi)=\varphi.$$

Точка $M$ лежит на стороне $AD$, поэтому луч $BM$ проходит внутри угла $ABD$, а луч $BD$ — внутри угла $ABC$. Итак, $\angle ABM=\angle MBD=\angle DBC=\varphi$, и в сумме они дают $\angle ABC=90^\circ$. Каждый из углов равен $30^\circ$: лучи $BM$ и $BD$ делят угол $ABC$ на три равные части. Доказано.

Пункт б. Найдём расстояние от $O$ до прямой $CM$ при $BC=\sqrt3$.

Из прямоугольного треугольника $BCD$ с углом $\angle DBC=30^\circ$: $CD=BC\cdot\operatorname{tg}30^\circ=\sqrt3\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=1$. Значит, $AB=CD=1$, $AD=BC=\sqrt3$.

Из прямоугольного треугольника $ABM$ с углом $\angle ABM=30^\circ$: $AM=AB\cdot\operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}$. Тогда $MD=AD-AM=\sqrt3-\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$.

Искомое расстояние — высота треугольника $OCM$, опущенная на сторону $CM$. Найдём её через площадь: $d=\dfrac{2S_{OCM}}{CM}$.

Площадь треугольника $ACM$: основание $AM$, высота — расстояние от $C$ до прямой $AD$, то есть $CD=1$:

$$S_{ACM}=\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt3}{3}\cdot1=\dfrac{\sqrt3}{6}.$$

Точка $O$ — середина $AC$, поэтому $MO$ — медиана треугольника $ACM$, а медиана делит площадь пополам: $S_{OCM}=\dfrac{\sqrt3}{12}$.

Длина $CM$ — из прямоугольного треугольника $CDM$:

$$CM=\sqrt{MD^2+CD^2}=\sqrt{\dfrac43+1}=\sqrt{\dfrac73}=\dfrac{\sqrt{21}}{3}.$$

$$d=\dfrac{2\cdot\frac{\sqrt3}{12}}{\frac{\sqrt{21}}{3}}=\dfrac{\sqrt3}{6}\cdot\dfrac{3}{\sqrt{21}}=\dfrac{1}{2\sqrt7}=\dfrac{\sqrt7}{14}.$$

Проверим себя. Во-первых, $MB=\dfrac{AB}{\cos30^\circ}=\dfrac{2}{\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}=MD$ — условие выполнено. Во-вторых, в координатах $A(0;0)$, $B(0;1)$, $C(\sqrt3;1)$, $M\left(\dfrac{\sqrt3}{3};0\right)$, $O\left(\dfrac{\sqrt3}{2};\dfrac12\right)$ прямая $CM$ имеет уравнение $\sqrt3x-2y-1=0$, и расстояние $\dfrac{|\frac32-1-1|}{\sqrt{3+4}}=\dfrac{1}{2\sqrt7}=\dfrac{\sqrt7}{14}$. Совпало.