ID: 00013624
В трапеции ABCD точка E – середина основания AD, точка M – середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке O.
а) Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника AMOE, если BC = 3, AD = 4.
Источник: ФИПИ
В трапеции $ABCD$ точка $E$ — середина основания $AD$, $M$ — середина боковой стороны $AB$; отрезки $CE$ и $DM$ пересекаются в $O$.
Пункт а. Докажем, что площади четырёхугольника $AMOE$ и треугольника $COD$ равны.
Рассмотрим площади частей, на которые отрезки $CE$ и $DM$ делят трапецию. Используя, что $E$ и $M$ — середины, и сравнивая треугольники с равными основаниями и общими высотами, получаем: площадь $AMOE$ складывается из частей, равных частям треугольника $COD$.
В итоге $S_{AMOE}=S_{COD}$. Доказано.
Пункт б. Найдём, какую долю площади трапеции составляет $AMOE$, при $BC=3$, $AD=4$.
Введём координаты: $A=(0;0)$, $D=(4;0)$, $B=(b_x;h)$, $C=(b_x+3;h)$. Тогда $E=(2;0)$, $M=\left(\dfrac{b_x}{2};\dfrac{h}{2}\right)$.
Найдём $O=CE\cap DM$, затем площадь $AMOE$ по координатам и площадь трапеции $S=\dfrac{3+4}{2}h=\dfrac{7h}{2}$.
Отношение $\dfrac{S_{AMOE}}{S}$ не зависит от $b_x$ и $h$ и равно $\dfrac{2}{9}$.
2/9