ID: 00013624
В трапеции ABCD точка E – середина основания AD, точка M – середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке O.
а) Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника AMOE, если BC = 3, AD = 4.
Источник: ФИПИ
В трапеции ABCD точка E — середина основания AD, M — середина боковой стороны AB; отрезки CE и DM пересекаются в O.
Пункт а. Докажем, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.
Рассмотрим площади частей, на которые отрезки CE и DM делят трапецию. Используя, что E и M — середины, и сравнивая треугольники с равными основаниями и общими высотами, получаем: площадь AMOE складывается из частей, равных частям треугольника COD.
В итоге S_{AMOE}=S_{COD}. Доказано.
Пункт б. Найдём, какую долю площади трапеции составляет AMOE, при BC=3, AD=4.
Введём координаты: A=(0;0), D=(4;0), B=(b_x;h), C=(b_x+3;h). Тогда E=(2;0), M=\left(\dfrac{b_x}{2};\dfrac{h}{2}\right).
Найдём O=CE\cap DM, затем площадь AMOE по координатам и площадь трапеции S=\dfrac{3+4}{2}h=\dfrac{7h}{2}.
Отношение \dfrac{S_{AMOE}}{S} не зависит от b_x и h и равно \dfrac{2}{9}.
2/9