Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042185

Сторона $CD$ по условию боковая, значит, основания трапеции — $AD$ и $BC$, и $AD\parallel BC$.

Пункт а. Докажем, что $\angle ABC=\angle BAC$.

$BD$ — биссектриса угла $ADC$, поэтому $\angle ADB=\angle BDC$.

Углы $ADB$ и $DBC$ — накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$, поэтому $\angle ADB=\angle DBC$.

Получаем $\angle DBC=\angle BDC$: в треугольнике $BCD$ два угла равны, значит, он равнобедренный и $BC=CD$.

По условию $CD=AC$, поэтому $BC=AC$. Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, и углы при основании равны: $\angle ABC=\angle BAC$. Доказано.

Пункт б. Найдём $AB$ при $BD=8$ и $AC=5$.

Из пункта а: $CA=CB=CD=5$. Три точки $A$, $B$, $D$ находятся на расстоянии 5 от точки $C$, то есть лежат на окружности с центром $C$ и радиусом 5.

Отрезок $AB$ — хорда этой окружности, а угол $ADB$ — вписанный угол, опирающийся на эту хорду. По теореме синусов (хорда равна удвоенному радиусу, умноженному на синус вписанного угла):

$$AB=2\cdot5\cdot\sin\angle ADB.$$

Угол $ADB$ равен углу $CBD$ (это показано в пункте а). Найдём его из равнобедренного треугольника $BCD$: опустим высоту $CK$ на основание $BD$, она же медиана, поэтому $BK=\dfrac{BD}{2}=4$.

$$\cos\angle CBD=\dfrac{BK}{BC}=\dfrac45,\qquad \sin\angle CBD=\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=\dfrac35.$$

Подставляем:

$$AB=10\cdot\dfrac35=6.$$

Проверим себя координатами. Возьмём $C(0;0)$, $B(5;0)$. Точка $D(x;y)$ удовлетворяет условиям $x^2+y^2=25$ и $(x-5)^2+y^2=64$; вычитая, получаем $-10x+25=39$, $x=-1{,}4$, $y=4{,}8$. Точка $A$ лежит на той же окружности на прямой $y=4{,}8$ (так как $AD\parallel BC$), значит, $A(1{,}4;\,4{,}8)$. Тогда $AB=\sqrt{3{,}6^2+4{,}8^2}=\sqrt{12{,}96+23{,}04}=\sqrt{36}=6$. Совпало.