Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042190

Прямая $BM$ перпендикулярна диагонали $AC$, точка $M$ лежит на стороне $AD$ и $MB=MD$. Обозначим через $O$ точку пересечения диагоналей.

Пункт а. Докажем, что $\angle ABM=\angle MBD=\angle DBC$.

Обозначим $\angle DBC=\varphi$. Углы $ADB$ и $DBC$ накрест лежащие при $AD\parallel BC$ и секущей $BD$, поэтому $\angle ADB=\varphi$.

По условию $MB=MD$, значит, треугольник $BMD$ равнобедренный и $\angle MBD=\angle MDB=\varphi$.

Пусть $E$ — точка пересечения $BM$ и $AC$; угол $AEB$ прямой. В прямоугольном треугольнике $ABE$: $\angle ABM=90^\circ-\angle BAC$.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения $O$ делятся пополам, поэтому $OA=OB$ и $\angle BAC=\angle ABD$. Кроме того, $\angle ABD=90^\circ-\angle DBC=90^\circ-\varphi$. Значит,

$$\angle ABM=90^\circ-(90^\circ-\varphi)=\varphi.$$

Точка $M$ лежит на стороне $AD$, поэтому луч $BM$ проходит внутри угла $ABD$, а луч $BD$ — внутри угла $ABC$. Итак, $\angle ABM=\angle MBD=\angle DBC=\varphi$, и в сумме они дают $\angle ABC=90^\circ$. Каждый из углов равен $30^\circ$: лучи $BM$ и $BD$ делят угол $ABC$ на три равные части. Доказано.

Пункт б. Найдём расстояние от $O$ до прямой $CM$ при $BC=\sqrt7$.

Стороны прямоугольника: из треугольника $BCD$ с $\angle DBC=30^\circ$ получаем $AB=CD=BC\cdot\operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{\sqrt7}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt{21}}{3}$. Из треугольника $ABM$ с $\angle ABM=30^\circ$: $AM=AB\cdot\operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{\sqrt{21}}{3}\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt7}{3}$.

Введём координаты: начало в $A$, ось абсцисс по $AD$, ось ординат по $AB$. Тогда

$$C\left(\sqrt7;\,\dfrac{\sqrt{21}}{3}\right),\quad M\left(\dfrac{\sqrt7}{3};\,0\right),\quad O\left(\dfrac{\sqrt7}{2};\,\dfrac{\sqrt{21}}{6}\right).$$

Вектор $\vec{MC}=\left(\dfrac{2\sqrt7}{3};\,\dfrac{\sqrt{21}}{3}\right)$ пропорционален вектору $(2;\sqrt3)$. Прямая $CM$ проходит через $M$ с этим направлением, её уравнение:

$$\sqrt3\left(x-\dfrac{\sqrt7}{3}\right)-2y=0,\quad\text{то есть}\quad \sqrt3x-2y-\dfrac{\sqrt{21}}{3}=0.$$

Расстояние от точки $O$ до этой прямой:

$$d=\dfrac{\left|\sqrt3\cdot\frac{\sqrt7}{2}-2\cdot\frac{\sqrt{21}}{6}-\frac{\sqrt{21}}{3}\right|}{\sqrt{3+4}}=\dfrac{\left|\frac{\sqrt{21}}{2}-\frac{2\sqrt{21}}{3}\right|}{\sqrt7}=\dfrac{\sqrt{21}}{6\sqrt7}=\dfrac{\sqrt3}{6}.$$

Проверим себя через площадь. $S_{ACM}=\dfrac12\cdot AM\cdot CD=\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt7}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{21}}{3}=\dfrac{7\sqrt3}{18}$, медиана $MO$ делит её пополам: $S_{OCM}=\dfrac{7\sqrt3}{36}$. $CM=\sqrt{\left(\dfrac{2\sqrt7}{3}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{21}}{3}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{28+21}{9}}=\dfrac73$. Тогда $d=\dfrac{2S_{OCM}}{CM}=\dfrac{7\sqrt3}{18}\cdot\dfrac37=\dfrac{\sqrt3}{6}$. Совпало.