ID: 00013631
Точки 𝑃, 𝑄, 𝑊 делят стороны выпуклого четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 в отношении 𝐴𝑃:𝑃𝐵 = 𝐶𝑄:𝑄𝐵 = 𝐶𝑊:𝑊𝐷 = 1:4, радиус окружности, описанной около треугольника 𝑃𝑄𝑊, равен 10, 𝑃𝑄 = 16, 𝑄𝑊 = 12, угол ∠𝑃𝑊𝑄 – острый.
а) Докажите, что треугольник 𝑃𝑄𝑊 – прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Источник: ФИПИ
Точки $P$, $Q$, $W$ делят стороны выпуклого четырёхугольника $ABCD$ так: $AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4$.
Пункт а. Докажем, что треугольник $PQW$ прямоугольный.
Выразим точки через вершины: $P=\dfrac{4A+B}{5}$, $Q=\dfrac{4C+B}{5}$, $W=\dfrac{4C+D}{5}$.
Тогда $\overrightarrow{PQ}=Q-P=\dfrac{4C-4A}{5}=\dfrac45\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{QW}=W-Q=\dfrac{D-B}{5}=\dfrac15\overrightarrow{BD}$.
Дано $R=10$, $PQ=16$, $QW=12$. Проверим: $PQ^2+QW^2=256+144=400=(2R)^2$, значит $PW=2R=20$ — диаметр окружности, и вписанный угол $\angle PQW$, опирающийся на диаметр, прямой. Доказано.
Пункт б. Найдём площадь четырёхугольника $ABCD$.
Из $PQ=\dfrac45 AC=16$ получаем $AC=20$; из $QW=\dfrac15 BD=12$ получаем $BD=60$.
Прямой угол $\angle PQW$ означает $\overrightarrow{PQ}\perp\overrightarrow{QW}$, то есть $AC\perp BD$ — диагонали перпендикулярны.
Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями: $S=\dfrac12 AC\cdot BD=\dfrac12\cdot 20\cdot 60=600$.
600