ID: 00013631
Точки 𝑃, 𝑄, 𝑊 делят стороны выпуклого четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 в отношении 𝐴𝑃:𝑃𝐵 = 𝐶𝑄:𝑄𝐵 = 𝐶𝑊:𝑊𝐷 = 1:4, радиус окружности, описанной около треугольника 𝑃𝑄𝑊, равен 10, 𝑃𝑄 = 16, 𝑄𝑊 = 12, угол ∠𝑃𝑊𝑄 – острый.
а) Докажите, что треугольник 𝑃𝑄𝑊 – прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Источник: ФИПИ
Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD так: AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4.
Пункт а. Докажем, что треугольник PQW прямоугольный.
Выразим точки через вершины: P=\dfrac{4A+B}{5}, Q=\dfrac{4C+B}{5}, W=\dfrac{4C+D}{5}.
Тогда \overrightarrow{PQ}=Q-P=\dfrac{4C-4A}{5}=\dfrac45\overrightarrow{AC} и \overrightarrow{QW}=W-Q=\dfrac{D-B}{5}=\dfrac15\overrightarrow{BD}.
Дано R=10, PQ=16, QW=12. Проверим: PQ^2+QW^2=256+144=400=(2R)^2, значит PW=2R=20 — диаметр окружности, и вписанный угол \angle PQW, опирающийся на диаметр, прямой. Доказано.
Пункт б. Найдём площадь четырёхугольника ABCD.
Из PQ=\dfrac45 AC=16 получаем AC=20; из QW=\dfrac15 BD=12 получаем BD=60.
Прямой угол \angle PQW означает \overrightarrow{PQ}\perp\overrightarrow{QW}, то есть AC\perp BD — диагонали перпендикулярны.
Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями: S=\dfrac12 AC\cdot BD=\dfrac12\cdot 20\cdot 60=600.
600