Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042172

Величины $U$ и $L$ — положительные постоянные, частота $\omega\gt0$. Разделим числитель и знаменатель на $\omega$, внеся $\omega$ в знаменателе под корень как $\omega^2$:

$$U_L(\omega)=\dfrac{UL}{\sqrt{\dfrac{R^2}{\omega^2}+\left(L-\dfrac{1}{\omega^2C}\right)^2}}.$$

Числитель постоянный, поэтому амплитуда наибольшая там, где наименьшее подкоренное выражение. Сделаем замену $t=\dfrac{1}{\omega^2}$. Когда $\omega$ пробегает все положительные числа, $t$ тоже пробегает все положительные числа, причём каждому $t$ соответствует одна частота $\omega=\dfrac{1}{\sqrt t}$. Подкоренное выражение становится функцией

$$g(t)=R^2t+\left(L-\dfrac{t}{C}\right)^2=\dfrac{t^2}{C^2}+\left(R^2-\dfrac{2L}{C}\right)t+L^2.$$

Подставим числа: $\dfrac{1}{C^2}=10^{10}$, $R^2=400$, $\dfrac{2L}{C}=\dfrac{0{,}054}{10^{-5}}=5400$. Получаем

$$g(t)=10^{10}\,t^2-5000\,t+L^2.$$

Это квадратичная функция с положительным старшим коэффициентом, её график — парабола ветвями вверх. Наименьшее значение достигается в вершине:

$$t_0=\dfrac{5000}{2\cdot10^{10}}=2{,}5\cdot10^{-7}.$$

Вершина лежит в области $t\gt0$, поэтому это наименьшее значение $g$ при всех $t\gt0$: левее вершины функция убывает, правее — возрастает.

Вернёмся к частоте: $\omega^2=\dfrac{1}{t_0}=\dfrac{10^{7}}{2{,}5}=4\cdot10^{6}$, откуда $\omega=2000\ \text{с}^{-1}$ (берём положительный корень, так как частота положительна).

Значение $U=180$ В на ответ не повлияло: оно лишь умножает всю функцию на постоянное число.

Проверим себя числами — посчитаем амплитуду в найденной точке и при частотах на $10\%$ меньше и больше: $U_L(1800)\approx413{,}1$ В, $U_L(2000)\approx476{,}6$ В, $U_L(2200)\approx438{,}5$ В. В найденной точке амплитуда наибольшая. Заметим также, что ответ не совпадает с резонансной частотой $\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\approx1924{,}5\ \text{с}^{-1}$: на ней наибольшая сила тока, а не напряжение на катушке.