Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042170

Обозначим для краткости $a=kT$. При $T=500$ К это положительная постоянная: $a=1{,}38\cdot10^{-23}\cdot500=6{,}9\cdot10^{-21}$ Дж.

Множитель $\dfrac{2}{\sqrt\pi}\left(\dfrac1a\right)^{\frac32}$ — тоже положительная постоянная. Умножение на положительное число не меняет того, где функция достигает наибольшего значения, поэтому достаточно исследовать функцию

$$g(\mathcal E)=\sqrt{\mathcal E}\,e^{-\frac{\mathcal E}{a}},\quad \mathcal E\geqslant0.$$

При $\mathcal E=0$ она равна нулю, а при $\mathcal E\gt0$ положительна, так что наибольшее значение ищем при $\mathcal E\gt0$.

Найдём производную по правилу произведения. Производная $\sqrt{\mathcal E}$ равна $\dfrac{1}{2\sqrt{\mathcal E}}$, а производная $e^{-\frac{\mathcal E}{a}}$ по правилу сложной функции равна $-\dfrac1a\,e^{-\frac{\mathcal E}{a}}$:

$$g'(\mathcal E)=\dfrac{1}{2\sqrt{\mathcal E}}\,e^{-\frac{\mathcal E}{a}}-\dfrac{\sqrt{\mathcal E}}{a}\,e^{-\frac{\mathcal E}{a}}=e^{-\frac{\mathcal E}{a}}\cdot\dfrac{a-2\mathcal E}{2a\sqrt{\mathcal E}}.$$

Множитель $e^{-\frac{\mathcal E}{a}}$ и знаменатель $2a\sqrt{\mathcal E}$ положительны, поэтому знак производной совпадает со знаком разности $a-2\mathcal E$. Производная равна нулю при $\mathcal E=\dfrac a2$, положительна при $0\lt\mathcal E\lt\dfrac a2$ и отрицательна при $\mathcal E\gt\dfrac a2$.

Значит, функция возрастает на $\left[0;\dfrac a2\right]$ и убывает на $\left[\dfrac a2;+\infty\right)$, и наибольшее значение достигается при $\mathcal E=\dfrac a2=\dfrac{kT}{2}$.

Подставим числа:

$$\mathcal E=\dfrac{1{,}38\cdot10^{-23}\cdot500}{2}=0{,}69\cdot10^{-23}\cdot500=345\cdot10^{-23}=3{,}45\cdot10^{-21}\ \text{Дж}.$$

Проверим себя другим способом. При $\mathcal E\gt0$ функция $g$ положительна, а логарифм — возрастающая функция, поэтому $g$ и $\ln g=\dfrac12\ln\mathcal E-\dfrac{\mathcal E}{a}$ достигают наибольшего значения в одной и той же точке. Производная $\dfrac{1}{2\mathcal E}-\dfrac1a=\dfrac{a-2\mathcal E}{2a\mathcal E}$ обращается в ноль при $\mathcal E=\dfrac a2$ и меняет знак с плюса на минус — точка та же.