Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042164

Ширина реки и обе скорости известны, поэтому расстояние $L$ зависит только от угла $\alpha$. Подставим числа; чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на $5$: $\dfrac{60\,(10+8\cos\alpha)}{8\sin\alpha}$, и вынесем общий множитель:

$$L(\alpha)=60\cdot\dfrac{2+1{,}6\cos\alpha}{1{,}6\sin\alpha}=15\cdot\dfrac{5+4\cos\alpha}{\sin\alpha}.$$

Угол между векторами скоростей лежит от $0$ до $\pi$. При $\alpha=0$ и $\alpha=\pi$ лодка плывёт вдоль течения и на другой берег не попадает (знаменатель $\sin\alpha$ равен нулю), поэтому исследуем функцию на интервале $(0;\pi)$, где $\sin\alpha\gt0$.

Найдём производную по правилу дифференцирования частного $\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$. Производная числителя равна $-4\sin\alpha$, производная знаменателя $\sin\alpha$ равна $\cos\alpha$. Сгруппируем $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ и заменим эту сумму единицей по основному тригонометрическому тождеству:

$$L'(\alpha)=15\cdot\dfrac{-4\sin^2\alpha-(5+4\cos\alpha)\cos\alpha}{\sin^2\alpha}=-\dfrac{15\,(4+5\cos\alpha)}{\sin^2\alpha}.$$

Знаменатель $\sin^2\alpha$ на интервале $(0;\pi)$ положителен, поэтому знак производной противоположен знаку скобки в числителе. Производная равна нулю, когда $\cos\alpha=-\dfrac45$. На интервале $(0;\pi)$ косинус убывает и принимает каждое значение ровно один раз, поэтому такой угол $\alpha_0$ единственный; он тупой, так как косинус отрицателен.

При $0\lt\alpha\lt\alpha_0$ косинус больше чем $-\dfrac45$, скобка положительна и $L'(\alpha)\lt0$ — функция убывает. При $\alpha_0\lt\alpha\lt\pi$ косинус меньше чем $-\dfrac45$, скобка отрицательна и $L'(\alpha)\gt0$ — функция возрастает. Значит, $\alpha_0$ — точка минимума, и наименьшее значение на всём интервале достигается именно в ней.

Синус найдём из основного тригонометрического тождества; на $(0;\pi)$ он положителен: $\sin\alpha_0=\sqrt{1-\left(-\dfrac45\right)^2}=\dfrac35$. Подставим:

$$L(\alpha_0)=15\cdot\dfrac{5-4\cdot\frac45}{\frac35}=15\cdot\dfrac{9}{5}\cdot\dfrac{5}{3}=45\ \text{м}.$$

Угол получился тупым: чтобы снос был наименьшим, нос лодки нужно направить немного против течения.

Проверим себя другим способом — через треугольник скоростей. Скорость лодки относительно берега равна сумме вектора течения (длина $2$) и вектора скорости лодки относительно воды (длина $1{,}6$). Конец второго вектора может оказаться в любой точке окружности радиуса $1{,}6$ с центром в конце вектора течения. Отношение $\dfrac{L}{H}$ равно котангенсу угла $\varphi$ между итоговой скоростью и берегом, поэтому снос наименьший, когда этот угол наибольший, — когда итоговая скорость касается окружности. Тогда $\sin\varphi=\dfrac{1{,}6}{2}=0{,}8$, $\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi}=0{,}6$, $\operatorname{ctg}\varphi=\dfrac{\cos\varphi}{\sin\varphi}=0{,}75$ и $L=60\cdot0{,}75=45$ м. Результат совпал.