Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042163

Ширина реки и обе скорости известны, поэтому расстояние $L$ зависит только от угла $\alpha$. Подставим числа:

$$L(\alpha)=60\cdot\dfrac{2+1\cdot\cos\alpha}{1\cdot\sin\alpha}=60\cdot\dfrac{2+\cos\alpha}{\sin\alpha}.$$

Угол между векторами скоростей лежит от $0$ до $\pi$. При $\alpha=0$ и $\alpha=\pi$ лодка плывёт вдоль течения и на другой берег не попадает (знаменатель $\sin\alpha$ равен нулю), поэтому исследуем функцию на интервале $(0;\pi)$, где $\sin\alpha\gt0$.

Найдём производную по правилу дифференцирования частного $\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$. Производная числителя равна $-\sin\alpha$, производная знаменателя $\sin\alpha$ равна $\cos\alpha$. Сгруппируем $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ и заменим эту сумму единицей по основному тригонометрическому тождеству:

$$L'(\alpha)=60\cdot\dfrac{-\sin^2\alpha-(2+\cos\alpha)\cos\alpha}{\sin^2\alpha}=-\dfrac{60\,(1+2\cos\alpha)}{\sin^2\alpha}.$$

Знаменатель $\sin^2\alpha$ на интервале $(0;\pi)$ положителен, поэтому знак производной противоположен знаку скобки в числителе. Производная равна нулю, когда $\cos\alpha=-\dfrac12$, то есть при $\alpha_0=\dfrac{2\pi}{3}$. На интервале $(0;\pi)$ косинус убывает и принимает каждое значение ровно один раз, поэтому такой угол $\alpha_0$ единственный; он тупой, так как косинус отрицателен.

При $0\lt\alpha\lt\alpha_0$ косинус больше чем $-\dfrac12$, скобка положительна и $L'(\alpha)\lt0$ — функция убывает. При $\alpha_0\lt\alpha\lt\pi$ косинус меньше чем $-\dfrac12$, скобка отрицательна и $L'(\alpha)\gt0$ — функция возрастает. Значит, $\alpha_0$ — точка минимума, и наименьшее значение на всём интервале достигается именно в ней.

Синус найдём из основного тригонометрического тождества; на $(0;\pi)$ он положителен: $\sin\alpha_0=\sqrt{1-\left(-\dfrac12\right)^2}=\dfrac{\sqrt3}{2}$. Подставим:

$$L(\alpha_0)=60\cdot\dfrac{2-\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}}=60\cdot\dfrac32\cdot\dfrac{2}{\sqrt3}=\dfrac{180}{\sqrt3}=60\sqrt3\ \text{м}.$$

Угол получился тупым: чтобы снос был наименьшим, нос лодки нужно направить немного против течения.

Проверим себя другим способом — через треугольник скоростей. Скорость лодки относительно берега равна сумме вектора течения (длина $2$) и вектора скорости лодки относительно воды (длина $1$). Конец второго вектора может оказаться в любой точке окружности радиуса $1$ с центром в конце вектора течения. Отношение $\dfrac{L}{H}$ равно котангенсу угла $\varphi$ между итоговой скоростью и берегом, поэтому снос наименьший, когда этот угол наибольший, — когда итоговая скорость касается окружности. Тогда $\sin\varphi=\dfrac{1}{2}$, $\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi}=\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\operatorname{ctg}\varphi=\dfrac{\cos\varphi}{\sin\varphi}=\sqrt3$ и $L=60\sqrt3$ м. Результат совпал.