Неравенства,… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022320

Справа снова прячется полный квадрат: $x^2-8x+16=(x-4)^2$. И заметь: $(x-4)^2=(4-x)^2$, а именно $4-x$ стоит под логарифмом слева. Плюс $512=2^9$. Значит, сводим всё к одному логарифму $\log_2(4-x)$.

ОДЗ: $4-x>0$, то есть $x<4$. Правая часть при этом тоже определена: $(4-x)^2>0$.

Переписываем: $\log_{512}(4-x)=\dfrac{1}{9}\log_2(4-x)$, а справа $\log_2(4-x)^2=2\log_2(4-x)$ — квадрат выносим честно, потому что $4-x>0$. Неравенство: $\dfrac{x^2}{9}\log_2(4-x)\ge 2\log_2(4-x)$.

Делить на логарифм нельзя — его знак гуляет. Переносим влево, выносим за скобку и домножаем на $9$: $\log_2(4-x)\cdot(x^2-18)\ge 0$.

Рационализация: знак $\log_2(4-x)$ на ОДЗ совпадает со знаком $(4-x)-1=3-x$. Получаем $(3-x)(x^2-18)\ge 0$ при $x<4$. Удобнее домножить на $-1$ и перевернуть знак: $(x-3)(x^2-18)\le 0$.

Корни: $3$ и $\pm 3\sqrt{2}$, где $3\sqrt{2}\approx 4{,}24$. Обрати внимание: $3\sqrt{2}>4$, то есть правый корень вообще за пределами ОДЗ — он не сыграет. Метод интервалов на луче $x<4$. При $x<-3\sqrt{2}$ все три скобки $(x-3)$, $(x-3\sqrt{2})$, $(x+3\sqrt{2})$ отрицательны — произведение отрицательно, годится. На $(-3\sqrt{2};3)$ проверим $x=0$: $(0-3)(0-18)=54>0$ — не годится. На $(3;4)$ проверим $x=3{,}5$: $(3{,}5-3)(12{,}25-18)=0{,}5\cdot(-5{,}75)<0$ — годится.

Концы: $-3\sqrt{2}$ и $3$ дают ноль — при нестрогом знаке берём. Точка $4$ — граница ОДЗ, логарифма там нет, не берём. Проверка: $x=3$ в исходном неравенстве даёт слева $9\log_{512}1=0$ и справа $\log_2 1=0$, а $0\ge 0$ — верно. Всё сходится.