Неравенства,… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022348

Сначала разложим числитель на множители. Замечаем, что $10^x=2^x\cdot 5^x$, и группируем: $10^x-25\cdot 2^x-2\cdot 5^x+50=2^x(5^x-25)-2(5^x-25)=(2^x-2)(5^x-25)$.

Знаменатель тоже раскладываем: $5x-x^2-4=-(x^2-5x+4)=-(x-1)(x-4)$. ОДЗ: $x\ne 1$ и $x\ne 4$.

Неравенство приняло вид $\dfrac{(2^x-2)(5^x-25)}{-(x-1)(x-4)}\ge 0$. Здесь работает рационализация: множитель $2^x-2$ обращается в ноль при $x=1$ и растёт вместе с $x$, поэтому по знаку совпадает с $x-1$. Аналогично $5^x-25$ по знаку совпадает с $x-2$ (ведь $5^x=25$ при $x=2$). Заменяем «страшные» множители на простые того же знака.

Получаем равносильное по знаку неравенство $\dfrac{(x-1)(x-2)}{-(x-1)(x-4)}\ge 0$. Сокращаем на $(x-1)$ (эта точка всё равно выколота по ОДЗ) и умножаем на $-1$ с разворотом знака: $\dfrac{x-2}{x-4}\le 0$.

Метод интервалов: точки $2$ (закрашена) и $4$ (выколота). Знаки: $+,-,+$. Неположительно на $2\le x<4$.

Ответ: $[2; 4)$. Проверим: при $x=2$ множитель $5^x-25=0$, дробь равна нулю — подходит; $x=4$ выколота по ОДЗ. Возьмём контрольную точку $x=3$: числитель $(8-2)(125-25)=600>0$, знаменатель $-(2)(-1)=2>0$, дробь $300\ge 0$ — верно. Всё сходится.