Неравенства,… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00042142

В обоих знаменателях стоит один и тот же корень $\sqrt{x+8}$, а рядом с ним — сам $x$. Если обозначить корень новой буквой, то и $x$ выразится через неё, и неравенство станет обычным рациональным.

Область допустимых значений: под корнем должно быть неотрицательное число, $x+8\geq 0$, то есть $x\geq -8$. Условие «знаменатели не равны нулю» учтём после замены.

Пусть $t=\sqrt{x+8}$, где $t\geq 0$. Тогда $t^2=x+8$, откуда $x=t^2-8$.

Подставляем в первый знаменатель:

$$x-4\sqrt{x+8}+12=t^2-8-4t+12=t^2-4t+4=(t-2)^2.$$

Подставляем во второй знаменатель:

$$x-5\sqrt{x+8}+14=t^2-8-5t+14=t^2-5t+6.$$

У трёхчлена $t^2-5t+6$ корни $2$ и $3$ (их сумма $5$, произведение $6$), поэтому $t^2-5t+6=(t-2)(t-3)$.

Получаем неравенство

$$\dfrac{3}{(t-2)^2}\geq\dfrac{1}{(t-2)(t-3)},\qquad t\neq 2,\ t\neq 3.$$

При $t\neq 2$ множитель $(t-2)^2$ строго положителен. Умножение обеих частей на положительное число не меняет знак неравенства, поэтому умножаем на $(t-2)^2$:

$$3\geq\dfrac{t-2}{t-3}.$$

Переносим дробь влево и приводим к общему знаменателю $t-3$:

$$3-\dfrac{t-2}{t-3}=\dfrac{3(t-3)-(t-2)}{t-3}=\dfrac{3t-9-t+2}{t-3}=\dfrac{2t-7}{t-3}\geq 0.$$

Решаем методом интервалов. Числитель обращается в ноль при $t=3{,}5$, знаменатель — при $t=3$. Справа от $3{,}5$ оба множителя положительны, дробь положительна; между $3$ и $3{,}5$ числитель отрицателен, знаменатель положителен — дробь отрицательна; левее $3$ оба отрицательны — дробь положительна.

Значит, $t\lt 3$ или $t\geq 3{,}5$: точка $3$ выколота (там знаменатель ноль), точка $3{,}5$ входит (неравенство нестрогое).

Добавляем условия $t\geq 0$ и $t\neq 2$:

$$0\leq t\lt 2,\qquad 2\lt t\lt 3,\qquad t\geq 3{,}5.$$

Возвращаемся к $x=t^2-8$. При $t\geq 0$ функция $t^2-8$ возрастает, поэтому неравенства для $t$ переходят в неравенства для $x$ с теми же знаками. Считаем граничные точки:

$t=0\Rightarrow x=0-8=-8$; $t=2\Rightarrow x=4-8=-4$; $t=3\Rightarrow x=9-8=1$; $t=3{,}5\Rightarrow x=12{,}25-8=4{,}25$.

Получаем: $-8\leq x\lt -4$, или $-4\lt x\lt 1$, или $x\geq 4{,}25$.

Проверим себя. При $x=-4$ корень равен $2$, и первый знаменатель $-4-8+12=0$ — точка действительно выпадает. При $x=8$ корень $\sqrt{16}=4$: левая часть $\dfrac{3}{8-16+12}=\dfrac34$, правая $\dfrac{1}{8-20+14}=\dfrac12$, и $\dfrac34\geq\dfrac12$ — верно, а $8$ в ответе есть. При $x=3$ корень $t=\sqrt{11}\approx 3{,}32$ лежит между $3$ и $3{,}5$, и дробь $\dfrac{2t-7}{t-3}$ отрицательна — точка $3$ в ответ не входит, как и должно быть.