Решите неравенство дробь: числитель: log по основанию 8 x, знаменатель: log по основанию 8 левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 64 конец дроби правая круглая скобка конец дроби дробь: числитель: 2, знаменатель: log по основанию 8 x конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: log по основанию 8 в квадрате x минус log по основанию 8 x в квадрате конец дроби .

левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка объединение {8} объединение левая круглая скобка 64; плюс бесконечность правая круглая скобка

Задание 15 ЕГЭ по математике: Решите неравенство дробь: числитель: log по основанию 8 x,…

№2. Задание 15

ID: 00022339

Решите неравенство

\dfrac{\log_8 x}{\log_8\left(\dfrac{x}{64}\right)}\geqslant\dfrac{2}{\log_8 x}+\dfrac{3}{\log_8^2 x-\log_8 x^2}

Источник: ЕГЭ ФИПИ+аналоги (Адиль)

Решение

Всюду одна начинка $\log_8 x$ . Замена $u=\log_8 x$ (не забудь $x>0$ ) — и перед нами рациональное неравенство.

Распутываем: $\log_8\left(\dfrac{x}{64}\right)=\log_8 x-\log_8 64=u-2$ ; $\log_8 x^2=2u$ , поэтому знаменатель справа $\log_8^2 x-\log_8 x^2=u^2-2u=u(u-2)$ . ОДЗ по знаменателям: $u\neq0$ и $u\neq2$ , то есть $x\neq1$ и $x\neq64$ . Неравенство: $\dfrac{u}{u-2}\geqslant\dfrac{2}{u}+\dfrac{3}{u(u-2)}$ .

Переносим всё влево к общему знаменателю $u(u-2)$ : числитель $u\cdot u-2(u-2)-3=u^2-2u+4-3=u^2-2u+1=(u-1)^2$ . Получаем $\dfrac{(u-1)^2}{u(u-2)}\geqslant0$ .

При $u=1$ числитель ноль, знаменатель $1\cdot(-1)=-1\neq0$ , дробь равна нулю — изолированное решение, не потеряй! При $u\neq1$ квадрат положителен, нужно $u(u-2)>0$ : $u<0$ или $u>2$ .

По $u$ : $(-\infty;0)\cup\{1\}\cup(2;+\infty)$ . Возврат $x=8^u$ : $u<0$ даёт $02$ даёт $x>64$ .

Проверка $x=8$ : слева $\dfrac{1}{1-2}=-1$ ; справа $\dfrac{2}{1}+\dfrac{3}{1\cdot(1-2)}=2-3=-1$ ; $-1\geqslant-1$ — верно. Концы $x=1$ и $x=64$ выколоты. Всё сходится.

Ответ

(0;\ 1)\cup\{8\}\cup(64;\ +\infty)