Неравенства,… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022339

Всюду одна начинка $\log_8 x$. Замена $u=\log_8 x$ (не забудь $x>0$) — и перед нами рациональное неравенство.

Распутываем: $\log_8\left(\dfrac{x}{64}\right)=\log_8 x-\log_8 64=u-2$; $\log_8 x^2=2u$, поэтому знаменатель справа $\log_8^2 x-\log_8 x^2=u^2-2u=u(u-2)$. ОДЗ по знаменателям: $u\neq0$ и $u\neq2$, то есть $x\neq1$ и $x\neq64$. Неравенство: $\dfrac{u}{u-2}\geqslant\dfrac{2}{u}+\dfrac{3}{u(u-2)}$.

Переносим всё влево к общему знаменателю $u(u-2)$: числитель $u\cdot u-2(u-2)-3=u^2-2u+4-3=u^2-2u+1=(u-1)^2$. Получаем $\dfrac{(u-1)^2}{u(u-2)}\geqslant0$.

При $u=1$ числитель ноль, знаменатель $1\cdot(-1)=-1\neq0$, дробь равна нулю — изолированное решение, не потеряй! При $u\neq1$ квадрат положителен, нужно $u(u-2)>0$: $u<0$ или $u>2$.

По $u$: $(-\infty;0)\cup\{1\}\cup(2;+\infty)$. Возврат $x=8^u$: $u<0$ даёт $02$ даёт $x>64$.

Проверка $x=8$: слева $\dfrac{1}{1-2}=-1$; справа $\dfrac{2}{1}+\dfrac{3}{1\cdot(1-2)}=2-3=-1$; $-1\geqslant-1$ — верно. Концы $x=1$ и $x=64$ выколоты. Всё сходится.