ID: 00022344
Источник: ФИПИ
Замена $u=\log_3 x$ ($x>0$) распутает и числитель, и знаменатель.
Числитель: $2\log_3(9x)-13=2(\log_3 9+\log_3 x)-13=2(2+u)-13=2u-9$. Знаменатель: $\log_3^2 x-\log_3\left(x^4\right)=u^2-4u=u(u-4)$. Неравенство: $\dfrac{2u-9}{u(u-4)}\leqslant1$.
Переносим единицу влево: $\dfrac{2u-9-u(u-4)}{u(u-4)}\leqslant0$, числитель $2u-9-u^2+4u=-u^2+6u-9=-(u-3)^2$. Значит $\dfrac{-(u-3)^2}{u(u-4)}\leqslant0$, а умножив на $-1$ (знак переворачивается): $\dfrac{(u-3)^2}{u(u-4)}\geqslant0$.
При $u=3$ числитель ноль, знаменатель $3\cdot(-1)=-3\neq0$, дробь равна нулю — изолированное решение! При $u\neq3$ квадрат положителен, нужно $u(u-4)>0$: $u<0$ или $u>4$.
По $u$: $(-\infty;0)\cup\{3\}\cup(4;+\infty)$. Возврат $x=3^u$: $u<0$ даёт $04$ даёт $x>81$.
Проверка $x=27$: числитель $2\cdot3-9=-3$, знаменатель $3\cdot(-1)=-3$, дробь $1\leqslant1$ — верно. Концы $x=1$ ($u=0$) и $x=81$ ($u=4$) выколоты. Всё сходится.