Решите неравенство дробь: числитель: 2 log по основанию 3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка минус 13, знаменатель: log по основанию 3 в квадрате x минус log по основанию 3 левая круглая скобка x в степени 4 правая круглая скобка конец дроби 1 .

левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка объединение {27} объединение левая круглая скобка 81; плюс бесконечность правая круглая скобка

Задание 15 ЕГЭ по математике: Решите неравенство дробь: числитель: 2 log по основанию 3 левая…

№2. Задание 15

ID: 00022344

Решите неравенство

\dfrac{2\log_3(9x)-13}{\log_3^2 x-\log_3\left(x^4\right)}\leqslant1

Решение

Замена $u=\log_3 x$ ( $x>0$ ) распутает и числитель, и знаменатель.

Числитель: $2\log_3(9x)-13=2(\log_3 9+\log_3 x)-13=2(2+u)-13=2u-9$ . Знаменатель: $\log_3^2 x-\log_3\left(x^4\right)=u^2-4u=u(u-4)$ . Неравенство: $\dfrac{2u-9}{u(u-4)}\leqslant1$ .

Переносим единицу влево: $\dfrac{2u-9-u(u-4)}{u(u-4)}\leqslant0$ , числитель $2u-9-u^2+4u=-u^2+6u-9=-(u-3)^2$ . Значит $\dfrac{-(u-3)^2}{u(u-4)}\leqslant0$ , а умножив на $-1$ (знак переворачивается): $\dfrac{(u-3)^2}{u(u-4)}\geqslant0$ .

При $u=3$ числитель ноль, знаменатель $3\cdot(-1)=-3\neq0$ , дробь равна нулю — изолированное решение! При $u\neq3$ квадрат положителен, нужно $u(u-4)>0$ : $u<0$ или $u>4$ .

По $u$ : $(-\infty;0)\cup\{3\}\cup(4;+\infty)$ . Возврат $x=3^u$ : $u<0$ даёт $04$ даёт $x>81$ .

Проверка $x=27$ : числитель $2\cdot3-9=-3$ , знаменатель $3\cdot(-1)=-3$ , дробь $1\leqslant1$ — верно. Концы $x=1$ ( $u=0$ ) и $x=81$ ( $u=4$ ) выколоты. Всё сходится.

Ответ

(0;\ 1)\cup\{27\}\cup(81;\ +\infty)