Неравенства,… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022345

Замена $u=\log_3 x$ ($x>0$) — и три этажа логарифмов превращаются в аккуратное рациональное неравенство.

Распутываем: $\log_3(81x)=4+u$, $\log_3 x-4=u-4$, $\log_3\left(x^8\right)=8u$, $\log_3^2 x-16=u^2-16=(u-4)(u+4)$. ОДЗ по знаменателям: $u\neq4$ и $u\neq-4$, то есть $x\neq81$ и $x\neq\dfrac{1}{81}$. Неравенство: $\dfrac{u+4}{u-4}+\dfrac{u-4}{u+4}\geqslant\dfrac{24-8u}{(u-4)(u+4)}$.

Левую часть складываем: числитель $(u+4)^2+(u-4)^2=2u^2+32$, знаменатель $(u-4)(u+4)$. Переносим правую часть влево: числитель $2u^2+32-(24-8u)=2u^2+8u+8=2(u+2)^2$. Получаем $\dfrac{2(u+2)^2}{(u-4)(u+4)}\geqslant0$.

При $u=-2$ числитель ноль, знаменатель $(-6)(2)=-12\neq0$, дробь равна нулю — изолированное решение! При $u\neq-2$ квадрат положителен, нужно $(u-4)(u+4)>0$: $u<-4$ или $u>4$.

По $u$: $(-\infty;-4)\cup\{-2\}\cup(4;+\infty)$. Возврат $x=3^u$: $u<-4$ даёт $04$ даёт $x>81$.

Проверка $x=\dfrac{1}{9}$ ($u=-2$): слева $\dfrac{2}{-6}+\dfrac{-6}{2}=-\dfrac{1}{3}-3=-\dfrac{10}{3}$; справа $\dfrac{24+16}{-12}=-\dfrac{10}{3}$ — равенство, точка входит. Концы $x=\dfrac{1}{81}$, $x=81$ выколоты. Всё сходится.