Замена u=\log_3 x (x>0) — и три этажа логарифмов превращаются в аккуратное рациональное неравенство.

Распутываем: \log_3(81x)=4+u, \log_3 x-4=u-4, \log_3\left(x^8\right)=8u, \log_3^2 x-16=u^2-16=(u-4)(u+4). ОДЗ по знаменателям: u\neq4 и u\neq-4, то есть x\neq81 и x\neq\dfrac{1}{81}. Неравенство: \dfrac{u+4}{u-4}+\dfrac{u-4}{u+4}\geqslant\dfrac{24-8u}{(u-4)(u+4)}.

Левую часть складываем: числитель (u+4)^2+(u-4)^2=2u^2+32, знаменатель (u-4)(u+4). Переносим правую часть влево: числитель 2u^2+32-(24-8u)=2u^2+8u+8=2(u+2)^2. Получаем \dfrac{2(u+2)^2}{(u-4)(u+4)}\geqslant0.

При u=-2 числитель ноль, знаменатель (-6)(2)=-12\neq0, дробь равна нулю — изолированное решение! При u\neq-2 квадрат положителен, нужно (u-4)(u+4)>0: u<-4 или u>4.

По u: (-\infty;-4)\cup\{-2\}\cup(4;+\infty). Возврат x=3^u: u<-4 даёт 04 даёт x>81.

Проверка x=\dfrac{1}{9} (u=-2): слева \dfrac{2}{-6}+\dfrac{-6}{2}=-\dfrac{1}{3}-3=-\dfrac{10}{3}; справа \dfrac{24+16}{-12}=-\dfrac{10}{3} — равенство, точка входит. Концы x=\dfrac{1}{81}, x=81 выколоты. Всё сходится.