Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00042155

Всё неравенство построено вокруг двучлена $6x+1$. Упростим основание, а затем оба логарифма.

Под корнем в основании — квадрат суммы: $36x^2+12x+1=(6x)^2+2\cdot 6x\cdot 1+1^2=(6x+1)^2$. Значит,

$$\sqrt{12x+36x^2+1}=\sqrt{(6x+1)^2}=|6x+1|.$$

Условия на основание: положительно и не равно единице.

$|6x+1|\gt 0$, то есть $x\neq -\dfrac16$;

$|6x+1|\neq 1$: $6x+1\neq 1$ даёт $x\neq 0$, а $6x+1\neq -1$ даёт $x\neq -\dfrac13$.

Аргумент $(6x+1)^6$ положителен при $x\neq -\dfrac16$.

Первый логарифм. Шестая степень чётная, поэтому $(6x+1)^6=|6x+1|^6$, и по определению логарифма

$$\log_{|6x+1|}|6x+1|^6=6.$$

Второй логарифм. $27=3^3$, значит $27^{(6x+1)^2}=3^{3(6x+1)^2}$ и

$$\log_3 3^{3(6x+1)^2}=3(6x+1)^2.$$

Неравенство принимает вид

$$6-3(6x+1)^2\geq -6\ \Longleftrightarrow\ 3(6x+1)^2\leq 12\ \Longleftrightarrow\ (6x+1)^2\leq 4.$$

Это значит $|6x+1|\leq 2$, то есть $-2\leq 6x+1\leq 2$. Вычитаем $1$: $-3\leq 6x\leq 1$, делим на $6$: $-\dfrac12\leq x\leq\dfrac16$.

Исключаем запрещённые точки $-\dfrac13$, $-\dfrac16$ и $0$ — все они лежат внутри отрезка.

Проверим себя. При $x=-\dfrac12$: $6x+1=-2$, основание $2$, $\log_2 64=6$, второй логарифм $3\cdot 4=12$, разность $-6\geq -6$ — граница входит. При $x=\dfrac{1}{12}$: $6x+1=1{,}5$, первый логарифм $6$, второй $3\cdot 2{,}25=6{,}75$, разность $-0{,}75\geq -6$ — подходит. При $x=\dfrac13$: $6x+1=3$, разность $6-27=-21$ — не подходит.