ID: 00022343
Источник: ФИПИ
Здесь под логарифмами прячется одна и та же «начинка» $\log_4 x$. Сделаем замену $u=\log_4 x$ и превратим страшную дробь в обычное рациональное неравенство. Не забываем: логарифм существует только при $x>0$.
Разбираем числитель: $\log_4\left(16x^4\right)=\log_4 16+\log_4 x^4=2+4\log_4 x=2+4u$, значит числитель $=2+4u+11=4u+13$. Знаменатель $\log_4^2 x-9=u^2-9$. Неравенство: $\dfrac{4u+13}{u^2-9}\geqslant-1$.
Переносим $-1$ влево: $\dfrac{4u+13}{u^2-9}+1\geqslant0$, то есть $\dfrac{4u+13+u^2-9}{u^2-9}\geqslant0$, а сверху собирается полный квадрат: $u^2+4u+4=(u+2)^2$. Получаем $\dfrac{(u+2)^2}{(u-3)(u+3)}\geqslant0$.
Вот ключевой момент. Квадрат $(u+2)^2$ обращается в ноль при $u=-2$, и там вся дробь равна нулю (знаменатель $4-9=-5\neq0$) — это решение, изолированная точка, её легко потерять! При $u\neq-2$ квадрат строго положителен, и знак задаёт знаменатель: нужно $(u-3)(u+3)>0$, то есть $u<-3$ или $u>3$.
Итого по $u$: $u\in(-\infty;-3)\cup\{-2\}\cup(3;+\infty)$. Возвращаемся к $x=4^u$: $u<-3$ даёт $x<4^{-3}=\dfrac{1}{64}$ (и $x>0$); $u=-2$ даёт $x=4^{-2}=\dfrac{1}{16}$; $u>3$ даёт $x>4^3=64$.
Проверим изолированную точку $x=\dfrac{1}{16}$: числитель $4\cdot(-2)+13=5$, знаменатель $4-9=-5$, дробь равна $-1$, а $-1\geqslant-1$ — верно. Точки $x=\dfrac{1}{64}$ и $x=64$ выколоты (там знаменатель ноль). Всё сходится.