Здесь под логарифмами прячется одна и та же «начинка» \log_4 x. Сделаем замену u=\log_4 x и превратим страшную дробь в обычное рациональное неравенство. Не забываем: логарифм существует только при x>0.

Разбираем числитель: \log_4\left(16x^4\right)=\log_4 16+\log_4 x^4=2+4\log_4 x=2+4u, значит числитель =2+4u+11=4u+13. Знаменатель \log_4^2 x-9=u^2-9. Неравенство: \dfrac{4u+13}{u^2-9}\geqslant-1.

Переносим -1 влево: \dfrac{4u+13}{u^2-9}+1\geqslant0, то есть \dfrac{4u+13+u^2-9}{u^2-9}\geqslant0, а сверху собирается полный квадрат: u^2+4u+4=(u+2)^2. Получаем \dfrac{(u+2)^2}{(u-3)(u+3)}\geqslant0.

Вот ключевой момент. Квадрат (u+2)^2 обращается в ноль при u=-2, и там вся дробь равна нулю (знаменатель 4-9=-5\neq0) — это решение, изолированная точка, её легко потерять! При u\neq-2 квадрат строго положителен, и знак задаёт знаменатель: нужно (u-3)(u+3)>0, то есть u<-3 или u>3.

Итого по u: u\in(-\infty;-3)\cup\{-2\}\cup(3;+\infty). Возвращаемся к x=4^u: u<-3 даёт x<4^{-3}=\dfrac{1}{64} (и x>0); u=-2 даёт x=4^{-2}=\dfrac{1}{16}; u>3 даёт x>4^3=64.

Проверим изолированную точку x=\dfrac{1}{16}: числитель 4\cdot(-2)+13=5, знаменатель 4-9=-5, дробь равна -1, а -1\geqslant-1 — верно. Точки x=\dfrac{1}{64} и x=64 выколоты (там знаменатель ноль). Всё сходится.