ID: 00022342
Источник: ФИПИ
Замечаем, что $x^2-8x+16=(x-4)^2=(4-x)^2$. Значит, справа стоит логарифм от квадрата того же выражения $4-x$, что и слева.
ОДЗ: для $\log_{243}(4-x)$ нужно $4-x>0$, то есть $x<4$; для $\log_3(4-x)^2$ нужно $(4-x)^2>0$, то есть $x\ne 4$. Итого $x<4$.
Приводим к основанию 3. Так как $243=3^5$, то $\log_{243}(4-x)=\dfrac{1}{5}\log_3(4-x)$. А $\log_3(x^2-8x+16)=\log_3(4-x)^2=2\log_3(4-x)$ (на ОДЗ $4-x>0$, модуль не нужен). Обозначим $L=\log_3(4-x)$.
Неравенство: $x^2\cdot\dfrac{1}{5}L\le 2L$. Переносим всё влево: $L\left(\dfrac{x^2}{5}-2\right)\le 0$, то есть $\dfrac{L\,(x^2-10)}{5}\le 0$, а значит $\log_3(4-x)\cdot(x^2-10)\le 0$.
Разбираемся со знаками на луче $x<4$. Множитель $\log_3(4-x)$ равен нулю при $4-x=1$, то есть при $x=3$: он положителен при $x<3$ и отрицателен при $3</p><p>Метод интервалов по точкам$-\sqrt{10}$,$3$,$\sqrt{10}$(все закрашены — это нули множителей, неравенство нестрогое;$x=4$выколота по ОДЗ). Знаки произведения: на$(-\infty; -\sqrt{10})$плюс, на$(-\sqrt{10}; 3)$минус, на$(3; \sqrt{10})$плюс, на$(\sqrt{10}; 4)$минус.</p><p>Нужно$\le 0$: подходят$[-\sqrt{10}; 3]$и$[\sqrt{10}; 4)$. Ответ:$\left[-\sqrt{10}; 3\right]\cup\left[\sqrt{10}; 4\right)$.</p><p>Проверим: при$x=3$множитель$\log_3(4-x)=\log_3 1=0$— произведение ноль, входит; при$x=\pm\sqrt{10}$обнуляется$x^2-10$— входят. Контрольная точка$x=0$:$\log_3 4\cdot(0-10)<0$ — верно, точка в ответе. Всё сходится.