Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00042154

Неравенство выглядит страшно, но всё в нём построено вокруг одного двучлена $2x-3$. Упростим основание и аргументы.

Подкоренное выражение в основании — квадрат разности: $9+4x^2-12x=(2x)^2-2\cdot 2x\cdot 3+3^2=(2x-3)^2$. Корень из квадрата равен модулю:

$$\sqrt{9+4x^2-12x}=\sqrt{(2x-3)^2}=|2x-3|.$$

Ограничения на основание логарифма: оно положительно и не равно единице.

$|2x-3|\gt 0$, то есть $x\neq 1{,}5$;

$|2x-3|\neq 1$, то есть $2x-3\neq 1$ и $2x-3\neq -1$, откуда $x\neq 2$ и $x\neq 1$.

Аргумент $(2x-3)^4$ положителен при $x\neq 1{,}5$ — это условие уже есть.

Первое слагаемое. Чётная степень не зависит от знака: $(2x-3)^4=|2x-3|^4$. По определению логарифма

$$\log_{|2x-3|}|2x-3|^4=4.$$

Второе слагаемое. $4=2^2$, поэтому $4^{(2x-3)^2}=2^{2(2x-3)^2}$ и

$$\log_2 2^{2(2x-3)^2}=2(2x-3)^2.$$

Неравенство становится таким:

$$4+2(2x-3)^2\leq 22\ \Longleftrightarrow\ (2x-3)^2\leq 9\ \Longleftrightarrow\ |2x-3|\leq 3.$$

Раскрываем модуль двойным неравенством: $-3\leq 2x-3\leq 3$, прибавляем $3$: $0\leq 2x\leq 6$, делим на $2$: $0\leq x\leq 3$.

Убираем из отрезка $[0;3]$ запрещённые точки $1$, $1{,}5$ и $2$ — все они лежат внутри него.

Проверим себя. При $x=0$: основание $\sqrt9=3$, $\log_3 81=4$, второе слагаемое $2\cdot 9=18$, сумма $22\leq 22$ — граница входит. При $x=2{,}5$: основание $2$, $\log_2 16=4$, второе слагаемое $2\cdot 4=8$, сумма $12$ — подходит. При $x=3{,}5$: сумма $4+2\cdot 16=36\gt 22$ — не подходит.