Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022346

Сначала разложим кубический многочлен под левым логарифмом — в таких задачах он почти всегда группируется. Смотри: $x^3-3x^2-9x+27=x^2(x-3)-9(x-3)=(x-3)(x^2-9)=(x-3)^2(x+3)$. Уже приятнее.

Теперь приведём правую часть к основанию $0{,}5$. Ведь $0{,}25=0{,}5^2$, поэтому $\log_{0{,}25}(x-3)^4=\dfrac{1}{2}\log_{0{,}5}(x-3)^4=\dfrac{1}{2}\cdot 4\log_{0{,}5}|x-3|=2\log_{0{,}5}|x-3|=\log_{0{,}5}(x-3)^2$. Оба логарифма стали по одному основанию.

Выпишем ОДЗ: под левым логарифмом $(x-3)^2(x+3)>0$, значит $x+3>0$ и $x\ne 3$; под правым $(x-3)^4>0$, снова $x\ne 3$. Итого $x>-3$, $x\ne 3$.

Неравенство приняло вид $\log_{0{,}5}\big((x-3)^2(x+3)\big)\le\log_{0{,}5}(x-3)^2$. Основание $0{,}5<1$ — логарифм убывает, поэтому при переходе к аргументам знак разворачивается: $(x-3)^2(x+3)\ge(x-3)^2$.

На ОДЗ $x\ne 3$, значит $(x-3)^2>0$, и делим обе части на этот множитель без смены знака: $x+3\ge 1$, то есть $x\ge -2$.

Пересекаем с ОДЗ ($x>-3$, $x\ne 3$) и получаем $[-2; 3)\cup(3; +\infty)$. Проверим конец $x=-2$: тогда $x+3=1$ и $(x-3)^2(x+3)=(x-3)^2$ — равенство, а неравенство нестрогое, точка входит. Точка $x=3$ выколота: там обнуляются аргументы. Всё сходится.