Решите неравенство дробь: числитель: log по основанию 2 левая круглая скобка 4x в квадрате правая круглая скобка плюс 35, знаменатель: log по основанию 2 в квадрате x минус 36 конец дроби минус 1 .

левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 64 конец дроби правая круглая скобка объединение левая { дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая } объединение левая круглая скобка 64; плюс бесконечность правая круглая скобка

Задание 15 ЕГЭ по математике: Решите неравенство дробь: числитель: log по основанию 2 левая…

№2. Задание 15

ID: 00022338

Решите неравенство

\dfrac{\log_2\left(4x^2\right)+35}{\log_2^2 x-36}\geqslant-1

Источник: ЕГЭ ФИПИ+аналоги (Адиль)

Решение

Под всеми логарифмами — одна начинка $\log_2 x$ . Замена $u=\log_2 x$ (только $x>0$ ) сведёт дробь к рациональному неравенству.

Числитель: $\log_2\left(4x^2\right)=\log_2 4+\log_2 x^2=2+2u$ , значит $2+2u+35=2u+37$ . Знаменатель $u^2-36$ . Неравенство: $\dfrac{2u+37}{u^2-36}\geqslant-1$ .

Переносим $-1$ влево: $\dfrac{2u+37+u^2-36}{u^2-36}\geqslant0$ , сверху полный квадрат $u^2+2u+1=(u+1)^2$ : $\dfrac{(u+1)^2}{(u-6)(u+6)}\geqslant0$ .

При $u=-1$ числитель ноль, знаменатель $1-36=-35\neq0$ , дробь равна нулю — изолированное решение, не потеряй! При $u\neq-1$ квадрат положителен, нужно $(u-6)(u+6)>0$ : $u<-6$ или $u>6$ .

По $u$ : $(-\infty;-6)\cup\{-1\}\cup(6;+\infty)$ . Возврат $x=2^u$ : $u<-6$ даёт $x<2^{-6}=\dfrac{1}{64}$ ; $u=-1$ даёт $x=\dfrac{1}{2}$ ; $u>6$ даёт $x>64$ .

Проверка $x=\dfrac{1}{2}$ : числитель $2\cdot(-1)+37=35$ , знаменатель $1-36=-35$ , дробь $-1\geqslant-1$ — верно. Концы $x=\dfrac{1}{64}$ , $x=64$ выколоты. Всё сходится.

Ответ

\left(0;\ \dfrac{1}{64}\right)\cup\left\{\dfrac{1}{2}\right\}\cup(64;\ +\infty)