Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022338

Под всеми логарифмами — одна начинка $\log_2 x$. Замена $u=\log_2 x$ (только $x>0$) сведёт дробь к рациональному неравенству.

Числитель: $\log_2\left(4x^2\right)=\log_2 4+\log_2 x^2=2+2u$, значит $2+2u+35=2u+37$. Знаменатель $u^2-36$. Неравенство: $\dfrac{2u+37}{u^2-36}\geqslant-1$.

Переносим $-1$ влево: $\dfrac{2u+37+u^2-36}{u^2-36}\geqslant0$, сверху полный квадрат $u^2+2u+1=(u+1)^2$: $\dfrac{(u+1)^2}{(u-6)(u+6)}\geqslant0$.

При $u=-1$ числитель ноль, знаменатель $1-36=-35\neq0$, дробь равна нулю — изолированное решение, не потеряй! При $u\neq-1$ квадрат положителен, нужно $(u-6)(u+6)>0$: $u<-6$ или $u>6$.

По $u$: $(-\infty;-6)\cup\{-1\}\cup(6;+\infty)$. Возврат $x=2^u$: $u<-6$ даёт $x<2^{-6}=\dfrac{1}{64}$; $u=-1$ даёт $x=\dfrac{1}{2}$; $u>6$ даёт $x>64$.

Проверка $x=\dfrac{1}{2}$: числитель $2\cdot(-1)+37=35$, знаменатель $1-36=-35$, дробь $-1\geqslant-1$ — верно. Концы $x=\dfrac{1}{64}$, $x=64$ выколоты. Всё сходится.