Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022318

Первым делом раскладываем квадратный трёхчлен: $x^2-2x-15=(x-5)(x+3)$. Тогда под первым логарифмом стоит $(x-5)\cdot(x-5)(x+3)=(x-5)^2(x+3)$.

ОДЗ: слева $(x-5)^2(x+3)>0$, что даёт $x>-3$ и $x\ne 5$; справа $(x-5)^2>0$, то есть то же $x\ne 5$. Итого: $x\in(-3; 5)\cup(5; +\infty)$.

Приводим правую часть к основанию 4: $0{,}5\cdot\log_2(x-5)^2=\log_4(x-5)^2$ (ведь $\log_4 A=\dfrac{\log_2 A}{2}$). А слева единицу прячем внутрь логарифма: $\log_4\big((x-5)^2(x+3)\big)+1=\log_4\big(4(x-5)^2(x+3)\big)$.

Неравенство стало чистым: $\log_4\big(4(x-5)^2(x+3)\big)\ge\log_4(x-5)^2$. Основание $4>1$, логарифм возрастает, поэтому переходим к аргументам с тем же знаком: $4(x-5)^2(x+3)\ge(x-5)^2$.

На ОДЗ $(x-5)^2>0$, делим на него без смены знака: $4(x+3)\ge 1$, то есть $x+3\ge\dfrac{1}{4}$, откуда $x\ge\dfrac{1}{4}-3=-\dfrac{11}{4}$.

Пересекаем с ОДЗ: $-\dfrac{11}{4}=-2{,}75>-3$, так что нижний конец выживает, а точку $x=5$ выкалываем. Проверим конец $x=-\dfrac{11}{4}$: там $x+3=\dfrac{1}{4}$ и $4(x+3)=1$ — равенство, точка входит. Ответ: $\left[-\dfrac{11}{4}; 5\right)\cup(5; +\infty)$. Всё сходится.