Первым делом раскладываем квадратный трёхчлен: x^2-2x-15=(x-5)(x+3). Тогда под первым логарифмом стоит (x-5)\cdot(x-5)(x+3)=(x-5)^2(x+3).

ОДЗ: слева (x-5)^2(x+3)>0, что даёт x>-3 и x\ne 5; справа (x-5)^2>0, то есть то же x\ne 5. Итого: x\in(-3; 5)\cup(5; +\infty).

Приводим правую часть к основанию 4: 0{,}5\cdot\log_2(x-5)^2=\log_4(x-5)^2 (ведь \log_4 A=\dfrac{\log_2 A}{2}). А слева единицу прячем внутрь логарифма: \log_4\big((x-5)^2(x+3)\big)+1=\log_4\big(4(x-5)^2(x+3)\big).

Неравенство стало чистым: \log_4\big(4(x-5)^2(x+3)\big)\ge\log_4(x-5)^2. Основание 4>1, логарифм возрастает, поэтому переходим к аргументам с тем же знаком: 4(x-5)^2(x+3)\ge(x-5)^2.

На ОДЗ (x-5)^2>0, делим на него без смены знака: 4(x+3)\ge 1, то есть x+3\ge\dfrac{1}{4}, откуда x\ge\dfrac{1}{4}-3=-\dfrac{11}{4}.

Пересекаем с ОДЗ: -\dfrac{11}{4}=-2{,}75>-3, так что нижний конец выживает, а точку x=5 выкалываем. Проверим конец x=-\dfrac{11}{4}: там x+3=\dfrac{1}{4} и 4(x+3)=1 — равенство, точка входит. Ответ: \left[-\dfrac{11}{4}; 5\right)\cup(5; +\infty). Всё сходится.