Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022317

Дробь сравнивается с нулём — значит, работаем со знаками. Сначала знаменатель: $2x^2-10x+12{,}5=2(x^2-5x+6{,}25)=2(x-2{,}5)^2$. Это выражение положительно всюду, кроме $x=2{,}5$, где оно обращается в ноль — а ноль под логарифмом запрещён. Дальше приятный сюрприз: $\log_6^2(\ldots)$ — это квадрат, он неотрицателен, значит весь знаменатель $\log_6^2(\ldots)+1\ge 1>0$. Знаменатель всегда положителен!

Значит, дробь неотрицательна тогда и только тогда, когда числитель неотрицателен: $\log_2 x^2-\log_3 x^2\ge 0$. ОДЗ при этом: $x\ne 0$ (чтобы $x^2>0$) и $x\ne 2{,}5$.

Сравниваем логарифмы с разными основаниями — переходим к одному основанию: $\log_3 x^2=\log_2 x^2\cdot\log_3 2$. Тогда числитель равен $\log_2 x^2\cdot(1-\log_3 2)$. Число $\log_3 2$ меньше единицы (ведь $2<3$), поэтому скобка $1-\log_3 2$ положительна, и знак числителя полностью определяется знаком $\log_2 x^2$.

Требуем $\log_2 x^2\ge 0$, то есть $x^2\ge 1$, откуда $x\le -1$ или $x\ge 1$ (условие $x\ne 0$ здесь выполняется автоматически).

Осталось выколоть $x=2{,}5=\dfrac{5}{2}$ — точку, где знаменатель не существует. Получаем $(-\infty; -1]\cup\left[1; \dfrac{5}{2}\right)\cup\left(\dfrac{5}{2}; +\infty\right)$.

Проверим граничные точки: при $x=1$ и $x=-1$ имеем $x^2=1$, оба логарифма равны нулю, числитель — ноль, а неравенство нестрогое, так что обе точки входят. Всё сходится.