Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022297

Начнём с ОДЗ. Под первым логарифмом: $x^2-13x+42=(x-6)(x-7)>0$, то есть $x<6$ или $x>7$. Под вторым: $\dfrac{(x-7)^7}{x-6}>0$; нечётная степень знак не меняет, так что это равносильно $\dfrac{x-7}{x-6}>0$ — снова $x<6$ или $x>7$. Итого ОДЗ: $x\in(-\infty; 6)\cup(7; +\infty)$.

Теперь главный фокус. Переносим логарифмы в одну сторону: $7\log_{12}\big((x-6)(x-7)\big)-\log_{12}\dfrac{(x-7)^7}{x-6}\le 8$. На ОДЗ оба аргумента положительны, поэтому смело сворачиваем в один логарифм: $\log_{12}\dfrac{(x-6)^7(x-7)^7\cdot(x-6)}{(x-7)^7}\le 8$. Степени $(x-7)^7$ сокращаются, и остаётся коротенькое $\log_{12}(x-6)^8\le 8$.

Восьмая степень — чётная: $(x-6)^8=|x-6|^8$, и неравенство означает $|x-6|^8\le 12^8$, то есть $|x-6|\le 12$. Раскрываем модуль: $-12\le x-6\le 12$, значит $-6\le x\le 18$.

Пересекаем с ОДЗ ($x<6$ или $x>7$) и получаем $[-6; 6)\cup(7; 18]$.

Проверим концы. При $x=18$: $(18-6)^8=12^8$ — равенство, и ОДЗ выполнена ($18>7$), конец входит. При $x=-6$: $(-6-6)^8=(-12)^8=12^8$ — тоже равенство, входит. Точки $x=6$ и $x=7$ вне ОДЗ и в ответ не попадают. Всё сходится.