Начнём с ОДЗ. Под первым логарифмом: x^2-13x+42=(x-6)(x-7)>0, то есть x<6 или x>7. Под вторым: \dfrac{(x-7)^7}{x-6}>0; нечётная степень знак не меняет, так что это равносильно \dfrac{x-7}{x-6}>0 — снова x<6 или x>7. Итого ОДЗ: x\in(-\infty; 6)\cup(7; +\infty).

Теперь главный фокус. Переносим логарифмы в одну сторону: 7\log_{12}\big((x-6)(x-7)\big)-\log_{12}\dfrac{(x-7)^7}{x-6}\le 8. На ОДЗ оба аргумента положительны, поэтому смело сворачиваем в один логарифм: \log_{12}\dfrac{(x-6)^7(x-7)^7\cdot(x-6)}{(x-7)^7}\le 8. Степени (x-7)^7 сокращаются, и остаётся коротенькое \log_{12}(x-6)^8\le 8.

Восьмая степень — чётная: (x-6)^8=|x-6|^8, и неравенство означает |x-6|^8\le 12^8, то есть |x-6|\le 12. Раскрываем модуль: -12\le x-6\le 12, значит -6\le x\le 18.

Пересекаем с ОДЗ (x<6 или x>7) и получаем [-6; 6)\cup(7; 18].

Проверим концы. При x=18: (18-6)^8=12^8 — равенство, и ОДЗ выполнена (18>7), конец входит. При x=-6: (-6-6)^8=(-12)^8=12^8 — тоже равенство, входит. Точки x=6 и x=7 вне ОДЗ и в ответ не попадают. Всё сходится.