С виду страшно, но вся конструкция построена вокруг одного кирпичика — \log_5 x. Делаем замену t=\log_5 x и пересчитываем каждый кусок: \log_5(25x)=\log_5 25+\log_5 x=2+t, \log_5(x^4)=4t, а \log_5^2 x-4=t^2-4=(t-2)(t+2). Заметь: знаменатель справа — это произведение двух знаменателей слева! Неравенство превращается в \dfrac{t+2}{t-2}+\dfrac{t-2}{t+2}\ge\dfrac{6-4t}{(t-2)(t+2)}.

Сразу фиксируем ограничения: x>0 (иначе логарифм не живёт), t\ne 2 и t\ne -2, то есть x\ne 25 и x\ne\dfrac{1}{25}.

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю (t-2)(t+2): \dfrac{(t+2)^2+(t-2)^2-(6-4t)}{(t-2)(t+2)}\ge 0. Считаем числитель: (t^2+4t+4)+(t^2-4t+4)-6+4t=2t^2+4t+2=2(t+1)^2. Красота — наверху полный квадрат! Получили \dfrac{2(t+1)^2}{(t-2)(t+2)}\ge 0.

Квадрат никогда не бывает отрицательным, поэтому дробь неотрицательна ровно в двух случаях. Первый: числитель равен нулю, t=-1 — неравенство нестрогое, ноль нас устраивает. Второй: знаменатель положителен, (t-2)(t+2)>0, то есть t<-2 или t>2.

Возвращаемся к x=5^t (функция возрастает, знаки сохраняются): t<-2 даёт 02 даёт x>25.

Проверим изолированную точку x=\dfrac{1}{5}: при t=-1 слева \dfrac{1}{-3}+\dfrac{-3}{1}=-\dfrac{10}{3}, справа \dfrac{6+4}{1-4}=-\dfrac{10}{3} — равенство, точка честно входит. Концы x=\dfrac{1}{25} и x=25 не входят: там знаменатели обнуляются. Всё сходится.