Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022294

С виду страшно, но вся конструкция построена вокруг одного кирпичика — $\log_5 x$. Делаем замену $t=\log_5 x$ и пересчитываем каждый кусок: $\log_5(25x)=\log_5 25+\log_5 x=2+t$, $\log_5(x^4)=4t$, а $\log_5^2 x-4=t^2-4=(t-2)(t+2)$. Заметь: знаменатель справа — это произведение двух знаменателей слева! Неравенство превращается в $\dfrac{t+2}{t-2}+\dfrac{t-2}{t+2}\ge\dfrac{6-4t}{(t-2)(t+2)}$.

Сразу фиксируем ограничения: $x>0$ (иначе логарифм не живёт), $t\ne 2$ и $t\ne -2$, то есть $x\ne 25$ и $x\ne\dfrac{1}{25}$.

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю $(t-2)(t+2)$: $\dfrac{(t+2)^2+(t-2)^2-(6-4t)}{(t-2)(t+2)}\ge 0$. Считаем числитель: $(t^2+4t+4)+(t^2-4t+4)-6+4t=2t^2+4t+2=2(t+1)^2$. Красота — наверху полный квадрат! Получили $\dfrac{2(t+1)^2}{(t-2)(t+2)}\ge 0$.

Квадрат никогда не бывает отрицательным, поэтому дробь неотрицательна ровно в двух случаях. Первый: числитель равен нулю, $t=-1$ — неравенство нестрогое, ноль нас устраивает. Второй: знаменатель положителен, $(t-2)(t+2)>0$, то есть $t<-2$ или $t>2$.

Возвращаемся к $x=5^t$ (функция возрастает, знаки сохраняются): $t<-2$ даёт $02$ даёт $x>25$.

Проверим изолированную точку $x=\dfrac{1}{5}$: при $t=-1$ слева $\dfrac{1}{-3}+\dfrac{-3}{1}=-\dfrac{10}{3}$, справа $\dfrac{6+4}{1-4}=-\dfrac{10}{3}$ — равенство, точка честно входит. Концы $x=\dfrac{1}{25}$ и $x=25$ не входят: там знаменатели обнуляются. Всё сходится.