Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022316

Разбираем второй знаменатель: $\log_2(32x^{10})=\log_2 32+10\log_2 x=5+10\log_2 x$, значит $\log_2^2 x-\log_2(32x^{10})+30=\log_2^2 x-10\log_2 x+25=(\log_2 x-5)^2$ — полный квадрат первого знаменателя.

Замена $u=\log_2 x-5$; при этом $x>0$ и $u\ne 0$, то есть $x\ne 2^5=32$. Неравенство: $1+\dfrac{10}{u}+\dfrac{16}{u^2}\ge 0$.

Домножаем на $u^2>0$ — знак не меняется: $u^2+10u+16\ge 0$, раскладываем: $(u+2)(u+8)\ge 0$. Решение: $u\le -8$ или $u\ge -2$, и помним про $u\ne 0$.

Назад к $x$. Если $u\le -8$: $\log_2 x\le -3$, то есть $0</p><p>Проверка концов. При$x=\dfrac{1}{8}$:$u=-8$, имеем$1-\dfrac{10}{8}+\dfrac{16}{64}=1-1{,}25+0{,}25=0$— равенство, конец входит. При$x=8$:$u=-2$, тогда$1-5+4=0$— тоже входит. Точка$x=32$ выколота: там оба знаменателя нули. Всё сходится.