Разбираем второй знаменатель: \log_2(32x^{10})=\log_2 32+10\log_2 x=5+10\log_2 x, значит \log_2^2 x-\log_2(32x^{10})+30=\log_2^2 x-10\log_2 x+25=(\log_2 x-5)^2 — полный квадрат первого знаменателя.

Замена u=\log_2 x-5; при этом x>0 и u\ne 0, то есть x\ne 2^5=32. Неравенство: 1+\dfrac{10}{u}+\dfrac{16}{u^2}\ge 0.

Домножаем на u^2>0 — знак не меняется: u^2+10u+16\ge 0, раскладываем: (u+2)(u+8)\ge 0. Решение: u\le -8 или u\ge -2, и помним про u\ne 0.

Назад к x. Если u\le -8: \log_2 x\le -3, то есть 0</p><p>Проверка концов. Приx=\dfrac{1}{8}:u=-8, имеем1-\dfrac{10}{8}+\dfrac{16}{64}=1-1{,}25+0{,}25=0— равенство, конец входит. Приx=8:u=-2, тогда1-5+4=0— тоже входит. Точкаx=32$ выколота: там оба знаменателя нули. Всё сходится.