Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022285

Начинаем, как всегда с логарифмами, с ОДЗ: под логарифмом должно стоять положительное число, $x^2-9>0$, то есть $x<-3$ или $x>3$. Запомним это и держим в голове до самого конца.

Теперь смотри на структуру: $\log_2\left(x^2-9\right)$ встречается и в квадрате, и в первой степени — классический квадратный трёхчлен в маскировке. Замена $t=\log_2\left(x^2-9\right)$: получаем $t^2-9t+20\ge 0$. Корни по Виету: $4$ и $5$ (сумма $9$, произведение $20$), значит $(t-4)(t-5)\ge 0$, откуда $t\le 4$ или $t\ge 5$.

Возвращаемся к $x$. Случай $t\le 4$: $\log_2\left(x^2-9\right)\le 4$. Логарифм по основанию $2>1$ возрастает, поэтому $x^2-9\le 2^4=16$, то есть $x^2\le 25$, откуда $-5\le x\le 5$. Пересекаем с ОДЗ $|x|>3$: остаётся $[-5;\,-3)\cup(3;\,5]$.

Случай $t\ge 5$: $x^2-9\ge 2^5=32$, то есть $x^2\ge 41$, откуда $x\le-\sqrt{41}$ или $x\ge\sqrt{41}$. Здесь ОДЗ выполнено автоматически: $\sqrt{41}\approx 6{,}4>3$.

Объединяем оба случая: $\left(-\infty;\,-\sqrt{41}\right]\cup[-5;\,-3)\cup(3;\,5]\cup\left[\sqrt{41};\,+\infty\right)$. Проверим границы: при $x=5$ имеем $x^2-9=16$, $t=\log_2 16=4$, и $16-36+20=0\ge 0$ — точка входит; при $x=\sqrt{41}$ имеем $x^2-9=32$, $t=5$, и $25-45+20=0$ — тоже входит. А точки $x=\pm 3$ не входят никогда — они убиты ОДЗ. Всё сходится.