Показательны… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00002491

Это показательное неравенство. Все степени здесь — это степени двойки, поэтому удобно ввести одну новую букву и свести задачу к обычному квадратному неравенству.

Обозначим $t=2^{x}$. Важно помнить: какое бы ни было $x$, число $2^{x}$ всегда положительно, поэтому $t\gt 0$.

Тогда $4^{x}=(2^{x})^{2}=t^{2}$. Подставим это в неравенство:

$$4t^{2}-65t+16\geqslant 0.$$

Это квадратное неравенство относительно $t$. Найдём корни через дискриминант: $D=65^{2}-4\cdot 4\cdot 16=4225-256=3969=63^{2}$.

$$t=\dfrac{65\pm 63}{8}\;\Rightarrow\; t=\dfrac{2}{8}=\dfrac14 \quad\text{или}\quad t=\dfrac{128}{8}=16.$$

Ветви параболы $4t^{2}-65t+16$ направлены вверх, значит выражение неотрицательно ВНЕ корней: $t\leqslant\dfrac14$ или $t\geqslant 16$.

Возвращаемся к $x$. Из $2^{x}\leqslant\dfrac14=2^{-2}$ получаем $x\leqslant -2$. Из $2^{x}\geqslant 16=2^{4}$ получаем $x\geqslant 4$.

Итак, неравенству удовлетворяют все $x\leqslant -2$ и все $x\geqslant 4$.