Это показательное неравенство. Все степени здесь — это степени двойки, поэтому удобно ввести одну новую букву и свести задачу к обычному квадратному неравенству.

Обозначим t=2^{x}. Важно помнить: какое бы ни было x, число 2^{x} всегда положительно, поэтому t\gt 0.

Тогда 4^{x}=(2^{x})^{2}=t^{2}. Подставим это в неравенство:

4t^{2}-65t+16\geqslant 0.

Это квадратное неравенство относительно t. Найдём корни через дискриминант: D=65^{2}-4\cdot 4\cdot 16=4225-256=3969=63^{2}.

t=\dfrac{65\pm 63}{8}\;\Rightarrow\; t=\dfrac{2}{8}=\dfrac14 \quad\text{или}\quad t=\dfrac{128}{8}=16.

Ветви параболы 4t^{2}-65t+16 направлены вверх, значит выражение неотрицательно ВНЕ корней: t\leqslant\dfrac14 или t\geqslant 16.

Возвращаемся к x. Из 2^{x}\leqslant\dfrac14=2^{-2} получаем x\leqslant -2. Из 2^{x}\geqslant 16=2^{4} получаем x\geqslant 4.

Итак, неравенству удовлетворяют все x\leqslant -2 и все x\geqslant 4.