Показательны… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00003355

Здесь всё построено на степенях двойки. Заменим $2^{x}$ одной буквой — и неравенство станет обычным квадратным.

Пусть $t=2^{x}$, причём $t\gt 0$. Распишем каждое слагаемое через $t$: $2^{2x+4}=16\cdot 2^{2x}=16t^{2}$, затем $16\cdot 2^{x+3}=16\cdot 8\cdot 2^{x}=128t$, и $2^{x+1}=2t$. Неравенство принимает вид:

$$16t^{2}-128t-2t+16\leqslant 0,\qquad 16t^{2}-130t+16\leqslant 0.$$

Разделим всё на $2$, чтобы числа стали меньше: $8t^{2}-65t+8\leqslant 0$. Найдём корни через дискриминант: $D=65^{2}-4\cdot 8\cdot 8=4225-256=3969=63^{2}$, значит $t=\dfrac{65\pm 63}{16}$, то есть $t=\dfrac18$ и $t=8$.

Парабола ветвями вверх, поэтому неравенство $\leqslant 0$ выполнено между корнями: $\dfrac18\leqslant t\leqslant 8$.

Возвращаемся к $x$: $2^{-3}\leqslant 2^{x}\leqslant 2^{3}$, откуда $-3\leqslant x\leqslant 3$.