Решите неравенство 2 в степени 2x плюс 4 минус 16 умножить на 2 в степени x плюс 3 минус 2 в степени x плюс 1 плюс 160

x принадлежит левая квадратная скобка минус 3; 3 правая квадратная скобка

Задание 15 ЕГЭ по математике: Решите неравенство 2 в степени 2x плюс 4 минус 16 умножить на 2…

№2. Задание 15

ID: 00003355

Решите неравенство $2^{2x+4} - 16 \cdot 2^{x+3} - 2^{x+1} + 16 \leqslant 0$

Источник: ФИПИ

Решение

Здесь всё построено на степенях двойки. Заменим $2^{x}$ одной буквой — и неравенство станет обычным квадратным.

Пусть $t=2^{x}$ , причём $t\gt 0$ . Распишем каждое слагаемое через $t$ : $2^{2x+4}=16\cdot 2^{2x}=16t^{2}$ , затем $16\cdot 2^{x+3}=16\cdot 8\cdot 2^{x}=128t$ , и $2^{x+1}=2t$ . Неравенство принимает вид:

$16t^{2}-128t-2t+16\leqslant 0,\qquad 16t^{2}-130t+16\leqslant 0.$

Разделим всё на $2$ , чтобы числа стали меньше: $8t^{2}-65t+8\leqslant 0$ . Найдём корни через дискриминант: $D=65^{2}-4\cdot 8\cdot 8=4225-256=3969=63^{2}$ , значит $t=\dfrac{65\pm 63}{16}$ , то есть $t=\dfrac18$ и $t=8$ .

Парабола ветвями вверх, поэтому неравенство $\leqslant 0$ выполнено между корнями: $\dfrac18\leqslant t\leqslant 8$ .

Возвращаемся к $x$ : $2^{-3}\leqslant 2^{x}\leqslant 2^{3}$ , откуда $-3\leqslant x\leqslant 3$ .

Ответ

$x \in [-3; 3]$