ID: 00013637
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $AD$.
а) Докажите, что прямые $B_1N$ и $CM$ перпендикулярны.
б) Плоскость $\alpha$ проходит через $N$ и $B_1$ параллельно $CM$. Найдите расстояние от $C$ до $\alpha$, если $B_1N=6$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём координаты: $A=(0;0;0)$, $B=(a;0;0)$, $D=(0;a;0)$, $A_1=(0;0;a)$; тогда $M=(\tfrac a2;0;0)$, $N=(0;\tfrac a2;0)$, $C=(a;a;0)$, $B_1=(a;0;a)$.
Вычислим скалярное произведение: $\vec{B_1N}\cdot\vec{CM}=(-a)(-\tfrac a2)+\tfrac a2(-a)+(-a)\cdot 0=\tfrac{a^2}{2}-\tfrac{a^2}{2}=0$, значит $B_1N\perp CM$. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
При $B_1N=6$ ребро $a=4$. Плоскость $\alpha$ через $N$ и $B_1$ параллельна $CM$; расстояние от $C$ до неё $d=\dfrac{|\vec{NC}\cdot\vec n|}{|\vec n|}=\dfrac{4\sqrt5}{5}$, где $\vec n=\vec{NB_1}\times\vec{CM}$.
$\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$