ID: 00013637
В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 точки M и N — середины рёбер AB и AD.
а) Докажите, что прямые B_1N и CM перпендикулярны.
б) Плоскость \alpha проходит через N и B_1 параллельно CM. Найдите расстояние от C до \alpha, если B_1N=6.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём координаты: A=(0;0;0), B=(a;0;0), D=(0;a;0), A_1=(0;0;a); тогда M=(\tfrac a2;0;0), N=(0;\tfrac a2;0), C=(a;a;0), B_1=(a;0;a).
Вычислим скалярное произведение: \vec{B_1N}\cdot\vec{CM}=(-a)(-\tfrac a2)+\tfrac a2(-a)+(-a)\cdot 0=\tfrac{a^2}{2}-\tfrac{a^2}{2}=0, значит B_1N\perp CM. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
При B_1N=6 ребро a=4. Плоскость \alpha через N и B_1 параллельна CM; расстояние от C до неё d=\dfrac{|\vec{NC}\cdot\vec n|}{|\vec n|}=\dfrac{4\sqrt5}{5}, где \vec n=\vec{NB_1}\times\vec{CM}.
Ответ: \dfrac{4\sqrt5}{5}.
\dfrac{4\sqrt{5}}{5}