Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 9 умножить на 81 в степени косинус x минус…

Пункт а. На первый взгляд уравнение страшное: и показательная функция, и косинус внутри показателя. Но приглядимся к основаниям: 81=9^{2}, значит 81^{\cos x}=\left(9^{\cos x}\right)^{2}. То есть всё уравнение — обычный квадратный трёхчлен относительно одной величины 9^{\cos x}.

Введём новую переменную (это называется «замена переменной»): пусть t=9^{\cos x}. Показательная функция всегда положительна, поэтому сразу помним ограничение t\gt 0. Уравнение превращается в

9t^{2}-28t+3=0.

Считаем дискриминант — число под корнем в формуле корней квадратного уравнения: D=(-28)^{2}-4\cdot 9\cdot 3=784-108=676, и \sqrt{676}=26. Тогда t_{1}=\dfrac{28+26}{18}=\dfrac{54}{18}=3, t_{2}=\dfrac{28-26}{18}=\dfrac{2}{18}=\dfrac{1}{9}. Оба корня положительны, значит оба годятся.

Возвращаемся к x. Первый случай: 9^{\cos x}=3. Запишем 3=9^{1/2}, тогда основания одинаковы, и показатели равны: \cos x=\dfrac{1}{2}.

Второй случай: 9^{\cos x}=\dfrac{1}{9}=9^{-1}, значит \cos x=-1.

Решаем простейшие тригонометрические уравнения. Из \cos x=\dfrac12 получаем x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}. Из \cos x=-1 получаем x=\pi+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Пункт б. Отбор корней. Нужны только те корни, что лежат на отрезке \left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right]. Отбирать будем перебором: в каждой серии подставляем подряд целые n и смотрим, попало число в отрезок или нет. Удобно сравнивать «в долях \pi»: отрезок — это от 2{,}5\pi до 4\pi.

Серия x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n. При n=1 выходит \dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{7\pi}{3}\approx 2{,}33\pi — это левее 2{,}5\pi, не подходит. При n=2 получаем \dfrac{13\pi}{3}\approx 4{,}33\pi — уже правее 4\pi. Из этой серии ничего не берём.

Серия x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n. При n=2: -\dfrac{\pi}{3}+4\pi=\dfrac{11\pi}{3}\approx 3{,}67\pi — попадает между 2{,}5\pi и 4\pi, берём. При n=1 было бы \dfrac{5\pi}{3}\approx1{,}67\pi — слишком мало, при n=3 — уже больше 4\pi.

Серия x=\pi+2\pi n. При n=1: 3\pi — лежит между 2{,}5\pi и 4\pi, берём. При n=0 это \pi, при n=2 — 5\pi, оба вне отрезка.

Проверим себя: у обоих отобранных чисел косинус должен быть равен \dfrac12 или -1. Действительно, \cos\dfrac{11\pi}{3}=\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac12, а \cos 3\pi=-1. Всё сходится.