Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028782

Пункт а. На первый взгляд уравнение страшное: и показательная функция, и косинус внутри показателя. Но приглядимся к основаниям: $81=9^{2}$, значит $81^{\cos x}=\left(9^{\cos x}\right)^{2}$. То есть всё уравнение — обычный квадратный трёхчлен относительно одной величины $9^{\cos x}$.

Введём новую переменную (это называется «замена переменной»): пусть $t=9^{\cos x}$. Показательная функция всегда положительна, поэтому сразу помним ограничение $t\gt 0$. Уравнение превращается в

$$9t^{2}-28t+3=0.$$

Считаем дискриминант — число под корнем в формуле корней квадратного уравнения: $D=(-28)^{2}-4\cdot 9\cdot 3=784-108=676$, и $\sqrt{676}=26$. Тогда $t_{1}=\dfrac{28+26}{18}=\dfrac{54}{18}=3$, $t_{2}=\dfrac{28-26}{18}=\dfrac{2}{18}=\dfrac{1}{9}$. Оба корня положительны, значит оба годятся.

Возвращаемся к $x$. Первый случай: $9^{\cos x}=3$. Запишем $3=9^{1/2}$, тогда основания одинаковы, и показатели равны: $\cos x=\dfrac{1}{2}$.

Второй случай: $9^{\cos x}=\dfrac{1}{9}=9^{-1}$, значит $\cos x=-1$.

Решаем простейшие тригонометрические уравнения. Из $\cos x=\dfrac12$ получаем $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. Из $\cos x=-1$ получаем $x=\pi+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отбор корней. Нужны только те корни, что лежат на отрезке $\left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right]$. Отбирать будем перебором: в каждой серии подставляем подряд целые $n$ и смотрим, попало число в отрезок или нет. Удобно сравнивать «в долях $\pi$»: отрезок — это от $2{,}5\pi$ до $4\pi$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$. При $n=1$ выходит $\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{7\pi}{3}\approx 2{,}33\pi$ — это левее $2{,}5\pi$, не подходит. При $n=2$ получаем $\dfrac{13\pi}{3}\approx 4{,}33\pi$ — уже правее $4\pi$. Из этой серии ничего не берём.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$. При $n=2$: $-\dfrac{\pi}{3}+4\pi=\dfrac{11\pi}{3}\approx 3{,}67\pi$ — попадает между $2{,}5\pi$ и $4\pi$, берём. При $n=1$ было бы $\dfrac{5\pi}{3}\approx1{,}67\pi$ — слишком мало, при $n=3$ — уже больше $4\pi$.

Серия $x=\pi+2\pi n$. При $n=1$: $3\pi$ — лежит между $2{,}5\pi$ и $4\pi$, берём. При $n=0$ это $\pi$, при $n=2$ — $5\pi$, оба вне отрезка.

Проверим себя: у обоих отобранных чисел косинус должен быть равен $\dfrac12$ или $-1$. Действительно, $\cos\dfrac{11\pi}{3}=\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac12$, а $\cos 3\pi=-1$. Всё сходится.