Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028784

Пункт а. Слева и справа стоят степени, но основания разные: $49$ и $\dfrac17$. Обе эти величины — степени семёрки, поэтому первый шаг очевиден: привести всё к одному основанию $7$. Тогда можно будет просто приравнять показатели.

Слева $49^{\sin x}=\left(7^{2}\right)^{\sin x}=7^{2\sin x}$. Справа $\left(\dfrac17\right)^{-\sqrt{2}\sin 2x}=\left(7^{-1}\right)^{-\sqrt{2}\sin 2x}=7^{\sqrt{2}\sin 2x}$.

Показательная функция с основанием $7$ каждое своё значение принимает ровно один раз (она строго возрастает), поэтому равенство степеней означает равенство показателей:

$$2\sin x=\sqrt{2}\,\sin 2x.$$

Теперь используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Получаем $2\sin x=2\sqrt{2}\,\sin x\cos x$. Переносим всё влево и выносим общий множитель $2\sin x$ за скобку:

$$2\sin x\left(1-\sqrt{2}\cos x\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель. Первый случай: $\sin x=0$, отсюда $x=\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Второй случай: $1-\sqrt{2}\cos x=0$, то есть $\cos x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Это табличное значение, ему отвечает $x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отбор корней. Отрезок $\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]$ удобно записать в долях $\pi$: от $2\pi$ до $3{,}5\pi$. Идём по каждой серии и подставляем целые значения параметра, оставляя те числа, что попали в этот промежуток.

Серия $x=\pi n$. При $n=2$ получаем $2\pi$ — это левый конец отрезка, он входит, берём. При $n=3$ получаем $3\pi$, и $3\pi\lt 3{,}5\pi$, тоже берём. При $n=4$ выходит $4\pi$ — уже правее, не подходит.

Серия $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$. При $n=1$: $\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\dfrac{9\pi}{4}=2{,}25\pi$ — попадает, берём. При $n=0$ было бы $0{,}25\pi$, при $n=2$ — $4{,}25\pi$: оба вне отрезка.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$. При $n=1$: $-\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\dfrac{7\pi}{4}=1{,}75\pi$ — левее $2\pi$, не годится. При $n=2$: $\dfrac{15\pi}{4}=3{,}75\pi$ — правее $3{,}5\pi$, тоже мимо. Из этой серии ничего не берём.

Проверим себя на числе $\dfrac{9\pi}{4}$: его косинус равен $\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$, как и требовалось во втором случае.