Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 49 в степени синус x равно левая круглая…

Пункт а. Слева и справа стоят степени, но основания разные: 49 и \dfrac17. Обе эти величины — степени семёрки, поэтому первый шаг очевиден: привести всё к одному основанию 7. Тогда можно будет просто приравнять показатели.

Слева 49^{\sin x}=\left(7^{2}\right)^{\sin x}=7^{2\sin x}. Справа \left(\dfrac17\right)^{-\sqrt{2}\sin 2x}=\left(7^{-1}\right)^{-\sqrt{2}\sin 2x}=7^{\sqrt{2}\sin 2x}.

Показательная функция с основанием 7 каждое своё значение принимает ровно один раз (она строго возрастает), поэтому равенство степеней означает равенство показателей:

2\sin x=\sqrt{2}\,\sin 2x.

Теперь используем формулу синуса двойного угла: \sin 2x=2\sin x\cos x. Получаем 2\sin x=2\sqrt{2}\,\sin x\cos x. Переносим всё влево и выносим общий множитель 2\sin x за скобку:

2\sin x\left(1-\sqrt{2}\cos x\right)=0.

Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель. Первый случай: \sin x=0, отсюда x=\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Второй случай: 1-\sqrt{2}\cos x=0, то есть \cos x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Это табличное значение, ему отвечает x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Пункт б. Отбор корней. Отрезок \left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right] удобно записать в долях \pi: от 2\pi до 3{,}5\pi. Идём по каждой серии и подставляем целые значения параметра, оставляя те числа, что попали в этот промежуток.

Серия x=\pi n. При n=2 получаем 2\pi — это левый конец отрезка, он входит, берём. При n=3 получаем 3\pi, и 3\pi\lt 3{,}5\pi, тоже берём. При n=4 выходит 4\pi — уже правее, не подходит.

Серия x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n. При n=1: \dfrac{\pi}{4}+2\pi=\dfrac{9\pi}{4}=2{,}25\pi — попадает, берём. При n=0 было бы 0{,}25\pi, при n=2 — 4{,}25\pi: оба вне отрезка.

Серия x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n. При n=1: -\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\dfrac{7\pi}{4}=1{,}75\pi — левее 2\pi, не годится. При n=2: \dfrac{15\pi}{4}=3{,}75\pi — правее 3{,}5\pi, тоже мимо. Из этой серии ничего не берём.

Проверим себя на числе \dfrac{9\pi}{4}: его косинус равен \cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}, как и требовалось во втором случае.