Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00042118

Пункт а. Раскроем скобку справа и перенесём всё влево:

$$4\sin x\cos^2x-\sqrt3-2\cos x+2\sqrt3\sin x\cos x=0.$$

Сгруппируем: из слагаемых без $\sqrt3$ вынесем $2\cos x$, из слагаемых с $\sqrt3$ вынесем $\sqrt3$:

$$2\cos x\left(2\sin x\cos x-1\right)+\sqrt3\left(2\sin x\cos x-1\right)=\left(2\sin x\cos x-1\right)\left(2\cos x+\sqrt3\right)=0.$$

Проверим раскрытием: $(2\sin x\cos x-1)(2\cos x+\sqrt3)=4\sin x\cos^2x+2\sqrt3\sin x\cos x-2\cos x-\sqrt3$ — совпадает с левой частью.

Первый множитель: $2\sin x\cos x=\sin2x=1$, то есть $2x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$, $x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n$.

Второй множитель: $\cos x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$. По формуле $\arccos(-a)=\pi-\arccos a$ получаем $\arccos\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$, поэтому $x=\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отбор корней. Переведём всё в двенадцатые доли $\pi$: отрезок $\left[-\dfrac{42\pi}{12};-\dfrac{24\pi}{12}\right]$.

Серия $\dfrac{\pi}{4}+\pi n=\dfrac{(3+12n)\pi}{12}$: при $n=-3$ — $-\dfrac{33\pi}{12}=-\dfrac{11\pi}{4}$, внутри; при $n=-2$ — $-\dfrac{21\pi}{12}$, правее; при $n=-4$ — $-\dfrac{45\pi}{12}$, левее.

Серия $\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n=\dfrac{(10+24n)\pi}{12}$: при $n=-2$ — $-\dfrac{38\pi}{12}=-\dfrac{19\pi}{6}$, внутри; при $n=-1$ — $-\dfrac{14\pi}{12}$, правее.

Серия $-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n=\dfrac{(-10+24n)\pi}{12}$: при $n=-1$ — $-\dfrac{34\pi}{12}=-\dfrac{17\pi}{6}$, внутри; при $n=-2$ — $-\dfrac{58\pi}{12}$, левее.

Проверка $x=-\dfrac{17\pi}{6}$: это $-\dfrac{5\pi}{6}-2\pi$, точка III четверти, $\cos x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\sin x=-\dfrac12$. Слева $4\cdot\left(-\dfrac12\right)\cdot\dfrac34-\sqrt3=-\dfrac32-\sqrt3$; справа $2\cdot\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\left(1+\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=-\sqrt3-\dfrac32$ — совпало.