Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00042117

Пункт а. Раскроем скобку справа и перенесём всё влево:

$$4\sin x\cos^2x-\sqrt3-\sqrt3\cos x+4\sin x\cos x=0.$$

Объединим слагаемые с $\sqrt3$ и слагаемые с $4\sin x\cos x$:

$$4\sin x\cos x\left(\cos x+1\right)-\sqrt3\left(1+\cos x\right)=\left(\cos x+1\right)\left(4\sin x\cos x-\sqrt3\right)=0.$$

По формуле синуса двойного угла $4\sin x\cos x=2\sin2x$, поэтому уравнение равносильно совокупности $\cos x+1=0$ или $2\sin2x-\sqrt3=0$.

$\cos x=-1$: это одна точка окружности, $x=\pi+2\pi n$.

$\sin2x=\dfrac{\sqrt3}{2}$: $2x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ или $2x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$. Делим на $2$: $x=\dfrac{\pi}{6}+\pi n$ или $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отбор корней. Отрезок $\left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right]$ — от $2{,}5\pi$ до $4\pi$.

Серия $\pi+2\pi n$: при $n=1$ получаем $3\pi$ — внутри; $\pi$ и $5\pi$ — вне.

Серия $\dfrac{\pi}{6}+\pi n$: при $n=2$ — $\dfrac{13\pi}{6}\approx2{,}17\pi$, левее; при $n=3$ — $\dfrac{19\pi}{6}\approx3{,}17\pi$, внутри; при $n=4$ — $\dfrac{25\pi}{6}\approx4{,}17\pi$, правее.

Серия $\dfrac{\pi}{3}+\pi n$: при $n=2$ — $\dfrac{7\pi}{3}\approx2{,}33\pi$, левее; при $n=3$ — $\dfrac{10\pi}{3}\approx3{,}33\pi$, внутри; при $n=4$ — $\dfrac{13\pi}{3}\approx4{,}33\pi$, правее.

Проверка $x=3\pi$: $\sin x=0$, $\cos x=-1$. Слева $0-\sqrt3=-\sqrt3$, справа $-1\cdot\left(\sqrt3-0\right)=-\sqrt3$ — совпало. Проверка $x=\dfrac{19\pi}{6}$: $\sin x=-\dfrac12$, $\cos x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$; слева $4\cdot\left(-\dfrac12\right)\cdot\dfrac34-\sqrt3=-\dfrac32-\sqrt3$, справа $-\dfrac{\sqrt3}{2}\left(\sqrt3+2\right)=-\dfrac32-\sqrt3$ — совпало.