Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00042106

Пункт а. Сначала упростим $\sin(5\pi-x)$. Синус повторяется через $2\pi$, поэтому два полных оборота ($4\pi$) можно отбросить: $\sin(5\pi-x)=\sin(\pi-x)$.

Формула приведения: угол $\pi$ функцию не меняет. Знак определяем, считая $x$ маленьким положительным углом: тогда $\pi-x$ лежит во II четверти, где синус положителен. Значит, $\sin(\pi-x)=\sin x$.

Уравнение принимает вид $2\cos^2x+\sin x+1=0$. Заменим $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$2-2\sin^2x+\sin x+1=0\quad\Leftrightarrow\quad 2\sin^2x-\sin x-3=0.$$

Пусть $t=\sin x$: $2t^2-t-3=0$, $D=1+24=25$, $t=\dfrac{1\pm5}{4}$, то есть $t=\dfrac32$ или $t=-1$.

Значение $\dfrac32$ больше единицы — синус таким не бывает. Остаётся $\sin x=-1$: это одна точка окружности, нижняя, $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отбор корней. Промежуток $\left[\dfrac{9\pi}{2};6\pi\right]$ — от $4{,}5\pi$ до $6\pi$. Точка $\dfrac{9\pi}{2}=4\pi+\dfrac{\pi}{2}$ — это верхняя точка окружности, $6\pi$ — правая точка $(1;0)$. Между ними дуга против часовой стрелки через левую и нижнюю точки.

Нижняя точка на этой дуге: $-\dfrac{\pi}{2}+6\pi=\dfrac{11\pi}{2}=5{,}5\pi$ — внутри промежутка. Соседние точки серии $\dfrac{7\pi}{2}=3{,}5\pi$ и $\dfrac{15\pi}{2}=7{,}5\pi$ лежат вне его.

Проверка в исходном уравнении: при $x=\dfrac{11\pi}{2}$ имеем $\cos x=0$, $\sin\left(5\pi-\dfrac{11\pi}{2}\right)=\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1$, и $2\cdot0-1+1=0$ — верно.