Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00042100

Пункт а. Слева стоит произведение двух скобок. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, а остальные при этом имеют смысл. Обе скобки определены при любом $x$, поэтому уравнение распадается на два независимых уравнения.

Первая скобка: $\cos^2x-3\sin^2x=0$. Это однородное уравнение второй степени: каждое слагаемое — квадрат синуса или косинуса.

Проверим, можно ли делить на $\cos^2x$. Если $\cos x=0$, то $\sin^2x=1$, и левая часть равна $0-3=-3\neq0$. Значит, точки с $\cos x=0$ корнями не являются, и делить на $\cos^2x$ можно:

$$1-3\operatorname{tg}^2x=0\quad\Rightarrow\quad \operatorname{tg}^2x=\dfrac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad \operatorname{tg}x=\pm\dfrac{\sqrt3}{3}.$$

Тангенс равен $\dfrac{\sqrt3}{3}$ при $x=\dfrac{\pi}{6}+\pi n$, а $-\dfrac{\sqrt3}{3}$ — при $x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n$. Вместе: $x=\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Вторая скобка: $\sin2x-\sqrt2\sin x=0$. Распишем синус двойного угла: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Тогда

$$2\sin x\cos x-\sqrt2\sin x=\sin x\left(2\cos x-\sqrt2\right)=0.$$

Делить на $\sin x$ нельзя — потеряем корни, поэтому рассматриваем оба множителя.

$\sin x=0$ при $x=\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

$2\cos x=\sqrt2$, то есть $\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}$, при $x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi m$, $m\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отбор корней. Отрезок $\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]$ — это от $0{,}25\pi$ до $1{,}75\pi$, оба конца входят. Пройдём по каждой серии.

Серия $x=\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi n$ даёт точки $\dfrac{\pi}{6}\approx0{,}17\pi$ (левее отрезка), $\dfrac{5\pi}{6}\approx0{,}83\pi$ (внутри), $\dfrac{7\pi}{6}\approx1{,}17\pi$ (внутри), $\dfrac{11\pi}{6}\approx1{,}83\pi$ (правее). Берём $\dfrac{5\pi}{6}$ и $\dfrac{7\pi}{6}$.

Серия $x=\pi k$: точки $0$ и $2\pi$ лежат вне отрезка, а $\pi$ — внутри. Берём $\pi$.

Серия $x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi m$: точка $\dfrac{\pi}{4}$ совпадает с левым концом, точка $-\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\dfrac{7\pi}{4}$ — с правым концом; концы входят в отрезок, берём обе. Следующие точки $\dfrac{9\pi}{4}$ и $-\dfrac{\pi}{4}$ лежат вне отрезка.

Проверим себя на $x=\dfrac{5\pi}{6}$: $\cos^2x=\dfrac34$, $\sin^2x=\dfrac14$, первая скобка равна $\dfrac34-3\cdot\dfrac14=0$ — верно. На $x=\dfrac{7\pi}{4}$: $\sin2x=\sin\dfrac{7\pi}{2}=-1$, $\sqrt2\sin x=\sqrt2\cdot\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=-1$, вторая скобка равна $-1-(-1)=0$ — верно.