Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00042113

Пункт а. Приведём все функции к аргументу $x$.

$\sin(2\pi-x)=-\sin x$, поэтому $\sin^2(2\pi-x)=\sin^2x$.

$\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)$: угол $\dfrac{3\pi}{2}$ меняет косинус на синус; при маленьком положительном $x$ угол лежит в IV четверти, где косинус положителен. Значит, $\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)=\sin x$.

$\sin\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=-\cos x$.

Уравнение принимает вид

$$\dfrac{13\sin^2x-12\sin x}{-13\cos x-5}=0.$$

Условие для знаменателя: $-13\cos x-5\neq0$, то есть $\cos x\neq-\dfrac{5}{13}$.

Числитель: $\sin x\left(13\sin x-12\right)=0$.

$\sin x=0$: $x=\pi n$, здесь $\cos x=\pm1$, условие выполнено.

$\sin x=\dfrac{12}{13}$: $\cos^2x=1-\dfrac{144}{169}=\dfrac{25}{169}$, $\cos x=\pm\dfrac{5}{13}$. Точка II четверти $\pi-\arcsin\dfrac{12}{13}$ имеет $\cos x=-\dfrac{5}{13}$ — запрещена знаменателем. Точка I четверти $\arcsin\dfrac{12}{13}$ имеет $\cos x=\dfrac{5}{13}$ — подходит. Получаем $x=\arcsin\dfrac{12}{13}+2\pi k$.

Обратите внимание: общая запись $(-1)^k\arcsin\dfrac{12}{13}+\pi k$ здесь была бы ошибкой — она включает запрещённую точку.

Пункт б. Отбор корней. Отрезок $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$ — примерно от $4{,}71$ до $9{,}42$; на окружности это дуга от нижней точки через правую и верхнюю к левой.

Серия $x=\pi n$: $2\pi\approx6{,}28$ — внутри, $3\pi$ — правый конец, входит; $\pi$ и $4\pi$ — вне.

Серия $x=\arcsin\dfrac{12}{13}+2\pi k$, где $\arcsin\dfrac{12}{13}\approx1{,}18$: при $k=1$ получаем $2\pi+\arcsin\dfrac{12}{13}\approx7{,}46$ — внутри; при $k=0$ и $k=2$ — вне.

Проверка для $x=2\pi+\arcsin\dfrac{12}{13}$: $\sin x=\dfrac{12}{13}$, $\cos x=\dfrac{5}{13}$. Числитель $13\cdot\dfrac{144}{169}-12\cdot\dfrac{12}{13}=\dfrac{144}{13}-\dfrac{144}{13}=0$, знаменатель $-13\cdot\dfrac{5}{13}-5=-10\neq0$ — верно.