Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00042101

Пункт а. Произведение двух скобок равно нулю, если хотя бы одна из них равна нулю. Обе скобки определены при всех $x$, поэтому решаем два уравнения по отдельности и объединяем ответы.

Первая скобка. Разность $\cos^2x-\sin^2x$ — это формула косинуса двойного угла: $\cos^2x-\sin^2x=\cos2x$. Получаем простейшее уравнение

$$\cos 2x=0\quad\Rightarrow\quad 2x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n.$$

Делим на $2$ и угол, и период: $x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2}$, $n\in\mathbb{Z}$. Это четыре точки окружности $\pm\dfrac{\pi}{4}$, $\pm\dfrac{3\pi}{4}$; их удобно записать как $x=\pm\dfrac{\pi}{4}+\pi n$.

Вторая скобка. По формуле синуса двойного угла $\sin2x=2\sin x\cos x$, поэтому

$$2\sin x\cos x+\sqrt3\sin x=\sin x\left(2\cos x+\sqrt3\right)=0.$$

Либо $\sin x=0$, откуда $x=\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Либо $\cos x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$. Косинус отрицателен во II и III четвертях; там значение $-\dfrac{\sqrt3}{2}$ принимается в точках $\dfrac{5\pi}{6}$ и $-\dfrac{5\pi}{6}$. Значит, $x=\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi m$, $m\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отбор корней. Отрезок $\left[-\pi;\dfrac{\pi}{2}\right]$ — от $-\pi$ до $0{,}5\pi$, концы входят.

Серия $x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2}$: решаем $-1\le\dfrac14+\dfrac n2\le\dfrac12$, то есть $-\dfrac54\le\dfrac n2\le\dfrac14$, $-2{,}5\le n\le0{,}5$. Подходят $n=-2,-1,0$: $x=-\dfrac{3\pi}{4}$, $-\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{4}$.

Серия $x=\pi k$: $-1\le k\le0{,}5$, то есть $k=-1$ и $k=0$: $x=-\pi$ и $x=0$.

Серия $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi m$: ближайшие точки $\dfrac{5\pi}{6}\approx0{,}83\pi$ (правее $0{,}5\pi$) и $-\dfrac{7\pi}{6}$ (левее $-\pi$) — не подходят. Серия $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi m$: при $m=0$ получаем $-\dfrac{5\pi}{6}\approx-0{,}83\pi$ — внутри отрезка.

Упорядочим и проверим, что совпадающих точек нет: $-\pi;\ -\dfrac{5\pi}{6};\ -\dfrac{3\pi}{4};\ -\dfrac{\pi}{4};\ 0;\ \dfrac{\pi}{4}$. Проверка на $x=-\dfrac{5\pi}{6}$: $\sin2x=\sin\left(-\dfrac{5\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\sqrt3\sin x=\sqrt3\cdot\left(-\dfrac12\right)=-\dfrac{\sqrt3}{2}$, сумма равна нулю — верно.