Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00042107

Пункт а. Упростим $\sin\left(\dfrac{5\pi}{2}-x\right)$. Так как $\dfrac{5\pi}{2}=2\pi+\dfrac{\pi}{2}$, полный оборот отбрасываем: $\sin\left(\dfrac{5\pi}{2}-x\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$.

Угол $\dfrac{\pi}{2}$ меняет синус на косинус. При маленьком положительном $x$ угол $\dfrac{\pi}{2}-x$ лежит в I четверти, синус там положителен, поэтому $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$.

Получаем $4\sin^2x+8\cos x-7=0$. Заменим $\sin^2x=1-\cos^2x$:

$$4-4\cos^2x+8\cos x-7=0\quad\Leftrightarrow\quad 4\cos^2x-8\cos x+3=0.$$

Пусть $t=\cos x$: $4t^2-8t+3=0$, $D=64-48=16$, $t=\dfrac{8\pm4}{8}$, то есть $t=\dfrac32$ или $t=\dfrac12$.

Косинус не может быть больше единицы, поэтому $\dfrac32$ отбрасываем. $\cos x=\dfrac12$ в двух точках, симметричных относительно оси абсцисс: $\pm\dfrac{\pi}{3}$. Значит, $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отбор корней. Промежуток $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$ в шестых долях $\pi$: от $-\dfrac{21\pi}{6}$ до $-\dfrac{12\pi}{6}$.

Ветка $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n=\dfrac{2\pi}{6}+\dfrac{12\pi n}{6}$: при $n=-1$ получаем $-\dfrac{10\pi}{6}$ — правее $-\dfrac{12\pi}{6}$; при $n=-2$ получаем $-\dfrac{22\pi}{6}$ — левее $-\dfrac{21\pi}{6}$. Корней нет.

Ветка $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n=-\dfrac{2\pi}{6}+\dfrac{12\pi n}{6}$: при $n=-1$ получаем $-\dfrac{14\pi}{6}=-\dfrac{7\pi}{3}$ — внутри; при $n=-2$ получаем $-\dfrac{26\pi}{6}$ — левее.

Проверка: $x=-\dfrac{7\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{3}-2\pi$, поэтому $\sin^2x=\dfrac34$, а $\sin\left(\dfrac{5\pi}{2}-x\right)=\cos x=\dfrac12$. Тогда $4\cdot\dfrac34+8\cdot\dfrac12-7=3+4-7=0$ — верно.