Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00042116

Пункт а. Раскроем скобку справа и перенесём всё в левую часть:

$$4\sin x\cos^2x-1-2\sin x\cos x+2\cos x=0.$$

Сгруппируем слагаемые попарно: первое с третьим, второе с четвёртым.

$$\left(4\sin x\cos^2x-2\sin x\cos x\right)+\left(2\cos x-1\right)=2\sin x\cos x\left(2\cos x-1\right)+\left(2\cos x-1\right).$$

Вынесем общую скобку $2\cos x-1$ и заметим, что $2\sin x\cos x=\sin2x$:

$$\left(2\cos x-1\right)\left(\sin2x+1\right)=0.$$

Проверим разложение раскрытием скобок: $(2\cos x-1)(2\sin x\cos x+1)=4\sin x\cos^2x+2\cos x-2\sin x\cos x-1$ — совпадает с исходной левой частью.

$2\cos x-1=0$: $\cos x=\dfrac12$, $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$.

$\sin2x=-1$: для угла $2x$ это одна точка окружности, $2x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$, откуда $x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отбор корней. Отрезок $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$: точка $3\pi$ на окружности — левая, $\dfrac{9\pi}{2}=4\pi+\dfrac{\pi}{2}$ — верхняя. Дуга идёт против часовой стрелки от левой точки через нижнюю ($\dfrac{7\pi}{2}$) и правую ($4\pi$) к верхней.

Серия $\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$: точка $-\dfrac{\pi}{3}$ (IV четверть) на этом обороте — $4\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{11\pi}{3}$; точка $\dfrac{\pi}{3}$ (I четверть) — $4\pi+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{13\pi}{3}$, меньше $\dfrac{9\pi}{2}$ ($\dfrac{26\pi}{6}\lt\dfrac{27\pi}{6}$). Обе подходят.

Серия $-\dfrac{\pi}{4}+\pi n$ — точки в IV и II четвертях. На дуге лежит только точка IV четверти: $4\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{15\pi}{4}$. Точка II четверти $3\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{11\pi}{4}$ левее $3\pi$, а $\dfrac{19\pi}{4}$ правее $\dfrac{9\pi}{2}$.

Проверка $x=\dfrac{15\pi}{4}$: $\sin x=-\dfrac{\sqrt2}{2}$, $\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}$. Слева $4\cdot\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\cdot\dfrac12-1=-\sqrt2-1$; справа $2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}-1\right)=-1-\sqrt2$ — совпало.