Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00042112

Пункт а. Упростим всё по формулам приведения (знак определяем, считая $x$ маленьким положительным углом).

$\sin(\pi+x)=-\sin x$ (III четверть, синус отрицателен), значит $\sin^2(\pi+x)=\sin^2x$ — квадрат знак убирает.

$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x$ (II четверть, косинус отрицателен, функция меняется на кофункцию).

$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$ (II четверть, синус положителен).

Уравнение принимает вид

$$\dfrac{5\sin^2x-3\sin x}{5\cos x-4}=0.$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Условие: $\cos x\neq\dfrac45$.

Числитель: $\sin x\left(5\sin x-3\right)=0$, то есть $\sin x=0$ или $\sin x=\dfrac35$.

$\sin x=0$: $x=\pi n$. В этих точках $\cos x=\pm1\neq\dfrac45$ — все подходят.

$\sin x=\dfrac35$: по основному тождеству $\cos^2x=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$, $\cos x=\pm\dfrac45$. Точка I четверти $x=\arcsin\dfrac35$ имеет $\cos x=\dfrac45$ — её запрещает знаменатель. Точка II четверти $x=\pi-\arcsin\dfrac35$ имеет $\cos x=-\dfrac45$ — подходит. Получаем $x=\pi-\arcsin\dfrac35+2\pi k$.

Пункт б. Отбор корней. Отрезок $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$ — примерно от $-11{,}00$ до $-6{,}28$. Оценим $\arcsin\dfrac35$: $0{,}6$ чуть больше $\sin\dfrac{\pi}{6}=0{,}5$ и меньше $\sin\dfrac{\pi}{4}\approx0{,}71$, поэтому угол между $\dfrac{\pi}{6}$ и $\dfrac{\pi}{4}$, точнее $\arcsin\dfrac35\approx0{,}64$.

Серия $x=\pi n$: $-2\pi$ (правый конец, входит), $-3\pi\approx-9{,}42$ (внутри); $-4\pi\approx-12{,}57$ — левее.

Серия $x=\pi-\arcsin\dfrac35+2\pi k$: при $k=-2$ получаем $-3\pi-\arcsin\dfrac35\approx-10{,}07$ — внутри (левее $-3\pi$, но правее $-3{,}5\pi\approx-11{,}00$); при $k=-1$ получаем $\approx-3{,}79$ — правее.

Проверка для $x=-3\pi-\arcsin\dfrac35$: это точка $\pi-\arcsin\dfrac35$, сдвинутая на $-4\pi$, поэтому $\sin x=\dfrac35$, $\cos x=-\dfrac45$. Числитель: $5\cdot\dfrac{9}{25}-3\cdot\dfrac35=\dfrac95-\dfrac95=0$, знаменатель: $5\cdot\left(-\dfrac45\right)-4=-8\neq0$ — верно.