Кредиты

Задание №13. Экономические задачи

№2. Задание 13

ID: 00042094

15-го июля планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что сумма всех платежей составит 366 тысяч рублей?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Пусть кредит взят на $$n$$ месяцев. Долг каждый месяц уменьшается на одну и ту же величину и за $$n$$ месяцев уходит от $$300$$ тыс. до нуля, значит, шаг уменьшения равен $\dfrac{300}{n}$ тыс. рублей.

Каждый платёж состоит из двух частей: процентов, начисленных 1-го числа, и уменьшения долга на $\dfrac{300}{n}$ . Уменьшения за весь срок вместе дают ровно $$300$$ тыс. рублей.

Проценты начисляются на долги на 15-е число: $$300$$ , $300-\dfrac{300}{n}$ , …, $\dfrac{300}{n}$ . Это $$n$$ чисел, равномерно убывающих, — арифметическая прогрессия. Её сумма равна среднему первого и последнего членов, умноженному на число членов:

$\dfrac{300+\frac{300}{n}}{2}\cdot n=\dfrac{300(n+1)}{2}=150(n+1).$

Проценты составляют $4\%$ от этой суммы:

$0{,}04\cdot150(n+1)=6(n+1).$

Сумма всех платежей: $$300+6(n+1)=366$$ , откуда $$6(n+1)=66$$ , $$n+1=11$$ и $$n=10$$ .

Проверка при $$n=10$$ : долги $300, 270, \ldots, 30$ , их сумма $\dfrac{300+30}{2}\cdot10=1650$ ; проценты $0{,}04\cdot1650=66$ ; всего $$300+66=366$$ тыс. рублей — совпало.

Ответ

Другие задания по теме «Кредиты» (8)