Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00042084

Кредит закрывается тремя одинаковыми платежами. Обозначу платёж $x$ рублей — тогда общая сумма платежей равна $3x$, и остаётся найти $x$.

Каждый январь долг умножается на $1{,}2$. Посмотрю на платежи из момента выдачи кредита. Платёж через год гасит ту часть долга, которая при выдаче составляла $\dfrac{x}{1{,}2}$: за год она как раз выросла бы до $x$. Платёж через два года гасит $\dfrac{x}{1{,}2^{2}}$, через три — $\dfrac{x}{1{,}2^{3}}$.

Вместе эти части составляют весь кредит. Так как $\dfrac{1}{1{,}2}=\dfrac{5}{6}$:

$$113\,750=x\left(\dfrac{5}{6}+\dfrac{25}{36}+\dfrac{125}{216}\right).$$

Привожу к знаменателю $216$:

$$\dfrac{5}{6}+\dfrac{25}{36}+\dfrac{125}{216}=\dfrac{180+150+125}{216}=\dfrac{455}{216}.$$

Значит, $x=\dfrac{113\,750\cdot216}{455}$. Поскольку $113\,750=455\cdot250$, получаю $x=250\cdot216=54\,000$ рублей.

Общая сумма платежей: $3\cdot54\,000=162\,000$ рублей.

Проверю прогоном по годам: $113\,750\cdot1{,}2=136\,500$, после платежа $82\,500$; $82\,500\cdot1{,}2=99\,000$, после платежа $45\,000$; $45\,000\cdot1{,}2=54\,000$ — ровно третий платёж, долг погашен.