Парабола — Задание 12 ЕГЭ по математике №00041766

На рисунке прямая $f(x)=3x+5$ и парабола $g(x)=ax^{2}+bx+c$. Точка $A$ видна, а точка $B$ лежит за краем рисунка, поэтому её координаты придётся вычислить.

Одна клетка — единица по обеим осям (подписаны $0$ и $1$). На параболе отмечены точки $(-5;-2)$, $(-3;4)$ и $A(-1;2)$, на прямой — ещё точка $(-2;-1)$. Прямая действительно $f(x)=3x+5$: $f(-2)=-1$, $f(-1)=2$.

Рассмотрим разность $h(x)=g(x)-f(x)$. Это квадратный трёхчлен (из квадратичной функции вычли линейную), и он равен нулю ровно там, где графики пересекаются, — в абсциссах точек $A$ и $B$.

Посчитаем $h$ в двух других отмеченных точках параболы. Значение $g$ берём с рисунка, значение $f$ — по формуле:

$$h(-5)=-2-\big(3\cdot(-5)+5\big)=-2-(-10)=8,$$

$$h(-3)=4-\big(3\cdot(-3)+5\big)=4-(-4)=8.$$

Квадратный трёхчлен принимает равные значения в точках, симметричных относительно оси его графика. Значит, ось проходит посередине между $-5$ и $-3$, через $x=-4$. Нули трёхчлена тоже симметричны относительно этой оси. Один нуль — абсцисса точки $A$, то есть $-1$; он на $3$ правее оси. Второй нуль на $3$ левее: $x_{B}=-4-3=-7$.

Ордината точки $B$ — значение любой из двух функций в этой точке. Возьмём прямую:

$$y_{B}=f(-7)=3\cdot(-7)+5=-21+5=-16.$$

Проверим другим способом — восстановим параболу целиком. Три её точки дают систему $25a-5b+c=-2$, $9a-3b+c=4$, $a-b+c=2$, откуда $a=-1$, $b=-5$, $c=-2$, то есть $g(x)=-x^{2}-5x-2$. Тогда $g(-7)=-49+35-2=-16$ — то же число, точка $(-7;-16)$ общая для обоих графиков.