Парабола — Задание 12 ЕГЭ по математике №00028847

Точки $A$ и $B$ — это места, где парабола и прямая встречаются. Найти их по рисунку на глаз не выйдет: точка $B$ уходит далеко вправо за край чертежа. Поэтому поступим иначе — восстановим формулы обеих линий и решим уравнение.

Проще начать с прямой: у неё всего один неизвестный коэффициент. Прямая проходит через начало координат, её вид $g(x)=kx$. На рисунке жирной точкой отмечено место $(1;5)$ — подставим эти координаты:

$$5=k\cdot1,\qquad k=5.$$

Значит прямая задаётся формулой $g(x)=5x$.

Теперь парабола. Смотрим, где она пересекает ось $Ox$: это происходит в начале координат и в точке $x=1$. Раз нам известны оба корня квадратного трёхчлена, его можно записать через них:

$$f(x)=a\cdot x\cdot(x-1).$$

Коэффициент $a$ найдём по второй отмеченной точке параболы — $(2;2)$:

$$2=a\cdot2\cdot(2-1)=2a,$$

откуда $a=1$ и

$$f(x)=x\cdot(x-1)=x^{2}-x.$$

Общие точки двух графиков — это решения уравнения $f(x)=g(x)$:

$$x^{2}-x=5x.$$

Соберём всё в левой части и вынесем $x$ за скобку:

$$x^{2}-6x=0,\qquad x(x-6)=0.$$

Произведение обращается в ноль, когда нулю равен один из множителей:

$$x=0\quad\text{или}\quad x=6.$$

Нулевой корень — это точка $A$, она стоит в начале координат и подписана на чертеже. Следовательно, абсцисса точки $B$ равна $6$.

Проверим себя: парабола в этой точке даёт $6^{2}-6=36-6=30$, а прямая $5\cdot6=30$. Значения совпали, значит точка $(6;30)$ и правда общая — она просто далеко за пределами рисунка.