ID: 00028847
На рисунке изображены графики функций $f(x)=ax^{2}+bx+c$ и $g(x)=kx$, пересекающиеся в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.
Источник: ФИПИ
Точки $A$ и $B$ — это места, где парабола и прямая встречаются. Найти их по рисунку на глаз не выйдет: точка $B$ уходит далеко вправо за край чертежа. Поэтому поступим иначе — восстановим формулы обеих линий и решим уравнение.
Проще начать с прямой: у неё всего один неизвестный коэффициент. Прямая проходит через начало координат, её вид $g(x)=kx$. На рисунке жирной точкой отмечено место $(1;5)$ — подставим эти координаты:
$$5=k\cdot1,\qquad k=5.$$
Значит прямая задаётся формулой $g(x)=5x$.
Теперь парабола. Смотрим, где она пересекает ось $Ox$: это происходит в начале координат и в точке $x=1$. Раз нам известны оба корня квадратного трёхчлена, его можно записать через них:
$$f(x)=a\cdot x\cdot(x-1).$$
Коэффициент $a$ найдём по второй отмеченной точке параболы — $(2;2)$:
$$2=a\cdot2\cdot(2-1)=2a,$$
откуда $a=1$ и
$$f(x)=x\cdot(x-1)=x^{2}-x.$$
Общие точки двух графиков — это решения уравнения $f(x)=g(x)$:
$$x^{2}-x=5x.$$
Соберём всё в левой части и вынесем $x$ за скобку:
$$x^{2}-6x=0,\qquad x(x-6)=0.$$
Произведение обращается в ноль, когда нулю равен один из множителей:
$$x=0\quad\text{или}\quad x=6.$$
Нулевой корень — это точка $A$, она стоит в начале координат и подписана на чертеже. Следовательно, абсцисса точки $B$ равна $6$.
Проверим себя: парабола в этой точке даёт $6^{2}-6=36-6=30$, а прямая $5\cdot6=30$. Значения совпали, значит точка $(6;30)$ и правда общая — она просто далеко за пределами рисунка.