Парабола — Задание 12 ЕГЭ по математике №00041758

На рисунке две линии: прямая $f(x)=3x+5$ — её формула дана полностью — и парабола $g(x)=ax^{2}+bx+c$, у которой коэффициенты неизвестны. Точка $A$ на рисунке видна, а точки $B$ нет: она лежит за краем чертежа. Поэтому восстановим формулу параболы по отмеченным точкам и найдём точку $B$ из уравнения.

Сначала масштаб: на осях подписаны $0$ и $1$, значит, одна клетка — это единица по обеим осям.

На параболе жирно отмечены три точки, все в узлах клеток: $(-5;-2)$, $(-3;4)$ и $A(-1;2)$. Убедимся, что $A$ лежит и на прямой: $f(-1)=3\cdot(-1)+5=2$ — сходится. Четвёртая отмеченная точка $(-2;-1)$ лежит на прямой: $f(-2)=-6+5=-1$.

Подставим координаты трёх точек параболы в $g(x)=ax^{2}+bx+c$:

$$\begin{cases}25a-5b+c=-2,\\9a-3b+c=4,\\a-b+c=2.\end{cases}$$

Вычтем из второго уравнения третье, а из первого — второе, чтобы избавиться от $c$:

$$8a-2b=2\ \Rightarrow\ 4a-b=1,\qquad 16a-2b=-6\ \Rightarrow\ 8a-b=-3.$$

Вычтем эти два уравнения: $4a=-4$, то есть $a=-1$. Тогда $b=4a-1=-5$, а из третьего уравнения $c=2-a+b=2+1-5=-2$.

$$g(x)=-x^{2}-5x-2.$$

Сверимся с рисунком: $c=-2$ — это ордината точки пересечения параболы с осью $Oy$, и парабола действительно проходит через узел $(0;-2)$.

Общие точки графиков — это решения уравнения $g(x)=f(x)$:

$$-x^{2}-5x-2=3x+5.$$

Переносим всё в правую часть:

$$x^{2}+8x+7=0,\qquad D=8^{2}-4\cdot7=64-28=36,\qquad x=\dfrac{-8\pm6}{2}.$$

Получаем $x_{1}=-1$ и $x_{2}=-7$. Корень $-1$ — это абсцисса точки $A$, поэтому абсцисса точки $B$ равна $-7$.

Проверим себя подстановкой: $f(-7)=3\cdot(-7)+5=-16$ и $g(-7)=-49+35-2=-16$. Значения совпали, точка $(-7;-16)$ действительно общая — она просто левее и ниже нарисованного куска.