Парабола — Задание 12 ЕГЭ по математике №00041763

На рисунке прямая $f(x)=-3x+13$ и парабола $g(x)=ax^{2}+bx+c$. Точка $B$ на рисунок не попала, поэтому найдём её из уравнения $g(x)=f(x)$, предварительно восстановив параболу.

Масштаб: подписаны $0$ и $1$, клетка — единица. На параболе отмечены точки $(-1;8)$, $(1;2)$ и $A(3;4)$. Точка $A$ лежит и на прямой: $f(3)=-9+13=4$; вторая отмеченная точка прямой — $(2;7)$, и $f(2)=-6+13=7$.

Удобно начать с пары точек с противоположными абсциссами $-1$ и $1$:

$$a-b+c=8,\qquad a+b+c=2.$$

Вычтем первое уравнение из второго: $2b=-6$, $b=-3$. Сложим их: $2(a+c)=10$, $a+c=5$.

Третья точка $A(3;4)$: $9a+3b+c=4$, то есть $9a-9+c=4$ и $9a+c=13$. Вычитая $a+c=5$, получаем $8a=8$, $a=1$, и тогда $c=4$.

$$g(x)=x^{2}-3x+4.$$

Сверимся с рисунком: $c=4$ означает, что парабола пересекает ось $Oy$ в точке $(0;4)$ — она действительно проходит через этот узел.

Приравниваем функции:

$$x^{2}-3x+4=-3x+13.$$

Слагаемое $-3x$ есть в обеих частях, после переноса остаётся

$$x^{2}=9,\qquad x=3\ \text{или}\ x=-3.$$

Абсцисса $3$ — это точка $A$, значит, у точки $B$ абсцисса $-3$. Её ордината — значение функции в этой точке:

$$f(-3)=-3\cdot(-3)+13=9+13=22.$$

Проверим по параболе: $g(-3)=9+9+4=22$ — совпало, точка $B(-3;22)$ общая для обоих графиков.