Парабола — Задание 12 ЕГЭ по математике №00041760

На рисунке прямая $f(x)=-6x+11$ и парабола $g(x)=ax^{2}+bx+c$. Точку $A$ видно, точка $B$ на рисунок не попала, поэтому её абсциссу найдём из уравнения $g(x)=f(x)$. Для этого сначала восстановим параболу.

Масштаб: на осях подписаны $0$ и $1$, одна клетка — единица. Отмеченные точки параболы: $(1;-2)$, $A(2;-1)$ и $(3;4)$. Точка $A$ лежит и на прямой: $f(2)=-12+11=-1$; вторая отмеченная точка прямой — $(1;5)$, и $f(1)=-6+11=5$.

Абсциссы трёх точек параболы идут подряд: $1$, $2$, $3$. Значения $g$ в них: $-2$, $-1$, $4$. Приращения соседних значений: $-1-(-2)=1$ и $4-(-1)=5$.

У параболы приращение при шаге $1$ равно $g(x+1)-g(x)=2ax+a+b$, и при каждом следующем шаге оно увеличивается на $2a$. Значит,

$$2a=5-1=4,\qquad a=2.$$

Первое приращение (от $x=1$ к $x=2$) равно $2a\cdot1+a+b=3a+b$, и оно равно $1$: $6+b=1$, $b=-5$. Коэффициент $c$ найдём по точке $(1;-2)$: $2-5+c=-2$, $c=1$.

$$g(x)=2x^{2}-5x+1.$$

Сверимся с рисунком: $c=1$ — это точка пересечения параболы с осью $Oy$, и парабола действительно проходит через $(0;1)$.

Приравниваем функции:

$$2x^{2}-5x+1=-6x+11\ \Rightarrow\ 2x^{2}+x-10=0.$$

$$D=1^{2}-4\cdot2\cdot(-10)=1+80=81,\qquad x=\dfrac{-1\pm9}{4}.$$

Корни: $x_{1}=\dfrac{8}{4}=2$ — это абсцисса точки $A$, и $x_{2}=\dfrac{-10}{4}=-2{,}5$. Значит, абсцисса точки $B$ равна $-2{,}5$.

Проверим подстановкой: $g(-2{,}5)=2\cdot6{,}25+12{,}5+1=26$ и $f(-2{,}5)=15+11=26$ — значения совпали.